Question

Помогите пожалуйста..Установить, какие кривые определяются нижеследующим уравнением: 9x^2-25y^2-18x-150y-441=0

Answer 1

9x²-25y²-18x-150y-441=0
Выделим полные квадраты
(9х²-18х+9)-9 -(25у²+150у+225)+225-441=0
9(х²-2х+1)-25(у²+6у+9)=225
9(х-1)²-25(у+3)²=225
9(х-1)²/225-25(у+3)²/225=1
(х-1)²/25-(у+3)²/25=1
Это гипербола с центром в точке (1;-3)

Answer 2

Данное уравнение является уравнением эллипса. Чтобы найти его кривые, мы можем привести его к каноническому виду. Позвольте мне показать вам, как это сделать.

Шаг 1: Группировка переменных

Для начала, сгруппируем переменные в уравнении таким образом, чтобы все $x$-термы и $y$-термы были вместе: \[9x^2 - 18x - 25y^2 - 150y - 441 = 0.\]

Шаг 2: Перенос константы

Теперь перенесем константу на другую сторону уравнения: \[9x^2 - 18x - 25y^2 - 150y = 441.\]

Шаг 3: Завершение квадратов

Для того чтобы завершить квадраты, нам нужно добавить и вычесть определенные значения внутри скобок. Для $x$-термов, добавим и вычтем $(18/2)^2 = 9^2 = 81$, а для $y$-термов, добавим и вычтем $(150/2)^2 = 75^2 = 5625$: \[9x^2 - 18x + 81 - 25y^2 - 150y + 5625 = 441 + 81 + 5625.\]

Шаг 4: Упрощение

Приведем правую сторону уравнения: \[9x^2 - 18x + 81 - 25y^2 - 150y + 5625 = 6127.\]

Шаг 5: Факторизация

Теперь факторизуем квадратные термы по $x$ и $y$: \[(3x - 9)^2 - (5y + 75)^2 = 6127.\]

Шаг 6: Разделение переменных

Разделим оба квадратных терма на их соответствующие коэффициенты: \[\frac{(3x - 9)^2}{6127} - \frac{(5y + 75)^2}{6127} = 1.\]

Шаг 7: Каноническая форма

Теперь у нас есть уравнение эллипса в канонической форме: \[\frac{(x - 3/3)^2}{6127/9} - \frac{(y + 75/5)^2}{6127/25} = 1.\]

Итоговый ответ

Кривые, определяемые данной канонической формой, представляют собой горизонтально ориентированный эллипс с центром в точке $(3, -15)$, где большая полуось равна $\sqrt{\frac{6127}{9}} \approx 24.76$ и малая полуось равна $\sqrt{\frac{6127}{25}} \approx 9.95$.