Question

Знайти найменше значення виразу x^2+y^2+2x-4y.

Answer 1

Выделяем полные квадраты:
x^2 + y^2 + 2x - 4y = (x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 >= -5, так как квадраты могут принимать только неотрицательные значения.

Равенство достигается при x = -1, y = 2.

Ответ. -5

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения x^2 + y^2 + 2x - 4y, нужно найти его минимум. Для этого необходимо найти точку, в которой частная производная этого выражения равна нулю. Затем, проверяем значение этой точки на экстремум (максимум или минимум) с помощью второй производной.

1. Найдем первую производную по x и приравняем ее к нулю: d/dx (x^2 + y^2 + 2x - 4y) = 2x + 2 = 0 2x = -2 x = -1

2. Теперь найдем первую производную по y и приравняем ее к нулю: d/dy (x^2 + y^2 + 2x - 4y) = 2y - 4 = 0 2y = 4 y = 2

3. Теперь найдем значение выражения в найденной точке (x, y): x^2 + y^2 + 2x - 4y = (-1)^2 + (2)^2 + 2*(-1) - 4*2 = 1 + 4 - 2 - 8 = -5

Таким образом, наименьшее значение выражения x^2 + y^2 + 2x - 4y равно -5.