Question

Лог. Неравенство. Помогите, пожалуйста. logx(x-2)logx(x+2) <= 0 x после log - основание логарифма

Answer 1

Logx(x-2)logx(x+2) ≤ 0
logx(x-2)*(x+2) ≤ 0
ОДЗ: x - 2 > 0, x > 2
x + 2 > 0, x > - 2
основание логарифма x > 1
Значит,ОДЗ: x > 2, x ∈( 2; + ≈)
x² - 4 ≤ x
x² - x - 4 ≤ 0
D = 1 + 4*1*4 = 17
x₁ = (1 - √17)/2 
x₂ =  (1 +√17)/2

   +                              -                                 +
----------------------------------------------------------------------------->
        (1 - √17)/2                        (1 +√17)/2              x

x∈ [ (1 - √17)/2 ;  (1 + √17)/2 ]
С учётом ОДЗ получаем:
х ∈ (2 ;  (1 + √17)/2 ]

Answer 2

Для решения данного неравенства с использованием логарифмов, давайте разберемся с каждым множителем в выражении.

У нас есть неравенство:

\[ \log_x(x-2) \cdot \log_x(x+2) \leq 0 \]

Давайте рассмотрим каждый множитель отдельно.

1. \(\log_x(x-2)\): Здесь важно, чтобы аргумент логарифма был положительным. Таким образом, \(x-2 > 0\). Решим это неравенство:

\[ x - 2 > 0 \]

\[ x > 2 \]

2. \(\log_x(x+2)\): Аналогично, требуется, чтобы \(x+2 > 0\). Решим это неравенство:

\[ x + 2 > 0 \]

\[ x > -2 \]

Теперь объединим результаты из обоих случаев. Мы хотим, чтобы оба множителя были положительными или оба отрицательными, так как произведение положительного и отрицательного числа будет отрицательным.

1. Если \(x > 2\): Оба множителя положительны. Неравенство выполняется.

2. Если \(-2 < x \leq 2\): Оба множителя отрицательны. Неравенство выполняется.

3. Если \(x \leq -2\): Первый множитель отрицательный, второй положительный. Неравенство не выполняется.

Таким образом, решение данного неравенства - это \(x \leq -2\) или \(-2 < x \leq 2\).