Question

Найдите аналитическое выражение для функции f(x), если известно, что 2f(x) + f(1-x) = x^2

Answer 1

Попробуем удовлетворить уравнению функцией вида f(x)=a*x²+b*x+c. Тогда 2*f(x)=2*a*x²+2*b*x+2*c и f(1-x)=a*(1-x)²+b*(1-x)+c. Подставляя эти выражения в уравнение, приходим к уравнению 3*a*x²+x*(b-2*a)+(3*c+a+b)=x². Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получаем систему уравнений:

3*a=1
b-2*a=0
3*c+a+b=0

Решая её, находим a=1/3, b=2/3, c=-1/3. Значит, f(x)=1/3*x²+2/3*x-1/3. Ответ: f(x)=1/3*x²+2/3*x-1/3.
 

Answer 2

Данное уравнение связывает функцию f(x) с ее аргументом x. Чтобы найти аналитическое выражение для функции f(x), мы можем использовать следующий подход.

1. Заменим x на (1 - x) в уравнении: 2f(1 - x) + f(x) = (1 - x)^2.

2. Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от коэффициента перед f(1 - x): 4f(1 - x) + 2f(x) = 2(1 - x)^2.

3. Вычтем из первого уравнения второе: 4f(1 - x) - 2f(1 - x) + 2f(x) - f(x) = 2(1 - x)^2 - x^2.

4. Упростим выражение: 2f(1 - x) + f(x) = 2 - 4x + 2x^2 - x^2.

5. Сгруппируем похожие члены: 3f(1 - x) = x^2 - 4x + 2.

6. Разделим обе части на 3: f(1 - x) = (x^2 - 4x + 2) / 3.

7. Теперь заменим (1 - x) обратно на x: f(x) = (1 - (1 - x))^2 - 4(1 - x) + 2 / 3.

8. Упростим выражение: f(x) = x^2 - 2x + 1 - 4 + 4x + 2 / 3.

9. Приведем подобные члены: f(x) = x^2 + 2x - 1 / 3.

Таким образом, аналитическое выражение для функции f(x) равно f(x) = x^2 + 2x - 1 / 3.