Question

10x^3-9x^2-2x+1=0, найти сумму действительных корней уравнения

Answer 1

Легко угадать корень x = 1 (10 - 9 - 2 + 1 = 0).
10x^3 - 9x^2 - 2x + 1 = 10x^3 - 10x^2 + x^2 - 2x + 1 = 10x^2(x - 1) + (x - 1)^2 = (x - 1)(10x^2 + x - 1) = 0
У второй скобки есть 2 вещественных корня, по теореме Виета сумма корней у второй скобки равна -1/10.
Ответ 1 + (-1/10) = 9/10.

Можно было, убедившись, что у уравнения три корня, сразу написать, что искомая сумма равна 9/10 (= - коэффициент при x^2 / коэффициент при x^3)

Answer 2

Чтобы найти сумму действительных корней уравнения 10x^3 - 9x^2 - 2x + 1 = 0, мы можем использовать теорему Безу и формулу Виета.

Теорема Безу

Теорема Безу гласит, что если число a является корнем многочлена f(x), то (x - a) является делителем f(x). Это означает, что если мы знаем корень уравнения, мы можем разделить многочлен на (x - a) и получить новое уравнение, которое имеет меньшую степень.

Формула Виета

Формула Виета устанавливает связь между коэффициентами многочлена и его корнями. Для уравнения вида ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 формула Виета говорит, что сумма корней равна -b/a.

Применение формулы Виета

В данном уравнении имеем: a = 10 b = -9 c = -2 d = 1

Сумма корней равна -b/a = -(-9)/10 = 9/10 = 0.9

Таким образом, сумма действительных корней уравнения 10x^3 - 9x^2 - 2x + 1 = 0 равна 0.9.