Question

Найти точки разрыва функции и провести их классификацию y=(x+4)ln(x+4)^2

Answer 1

Решение смотреть во вложении

Answer 2

Для нахождения точек разрыва функции необходимо проанализировать область определения функции и ее поведение при приближении к граничным значениям этой области.

Область определения данной функции y = (x+4)ln((x+4)^2) определяется так, чтобы подкоренное выражение (x+4)^2 было больше чем ноль, так как логарифм отрицательного числа не определен. Из этого следует, что (x+4)^2 > 0, что эквивалентно x < -4 или x > -4.

Теперь проанализируем функцию при приближении к граничным значениям области определения.

1. При x -> -∞: (x+4)ln((x+4)^2) = (-∞)ln(((-∞)+4)^2) = (-∞)ln(((-∞)+4)^2) = (-∞)ln(∞) = (-∞)*∞ = -∞.

2. При x -> -4: (x+4)ln((x+4)^2) = (-4+4)ln(((-4)+4)^2) = 0*ln(0^2) = 0*ln(0) = 0*(-∞) = NaN (не число).

3. При x -> -4+0: (x+4)ln((x+4)^2) = (-4+0)ln(((-4)+0)^2) = 0*ln(0^2) = 0*ln(0) = 0*(-∞) = NaN (не число).

4. При x -> -4+0: (x+4)ln((x+4)^2) = (-4+0)ln(((-4)+0)^2) = 0*ln(0^2) = 0*ln(0) = 0*(-∞) = NaN (не число).

5. При x -> -∞: (x+4)ln((x+4)^2) = (-∞)ln(((-∞)+4)^2) = (-∞)ln(∞) = (-∞)*∞ = -∞.

Таким образом, мы получаем следующую классификацию точек разрыва для функции y = (x+4)ln((x+4)^2):

1. Точка разрыва при x = -4 имеет разрыв второго рода (типа "разрыв выводит на бесконечность"), так как функция не определена в этой точке и значение функции при приближении к этой точке равно NaN.

2. Граница области определения функции x = -4 является точкой разрыва первого рода (типа "разрыв бесконечно возрастает" или "разрыв бесконечно убывает"), так как функция не определена в этой точке и значение функции при приближении к этой точке равно NaN.

3. Граница области определения функции x = -4 является точкой разрыва первого рода (типа "разрыв бесконечно возрастает" или "разрыв бесконечно убывает"), так как функция не определена в этой точке и значение функции при приближении к этой точке равно NaN.

4. При x < -4 и x > -4 функция непрерывна и определена.

Это позволяет прийти к выводу, что функция y = (x+4)ln((x+4)^2) имеет точки разрыва в точке x = -4 и границе области определения x = -4, и непрерывна и определена во всех остальных точках области определения.