Question

Помогите решить sin(α+β)*sin(α-β) если sin(α)=-1/3 , cos(β)=-1/2

Answer 1

Sin(a+b)*sin(a-b)=(sina*cosb+cosa*sinb)*(sina*cosb-cosa*sinb)=(sina*cosb)²-(cosa*sinb)².
sina=-1/3, значит cosa=√(1-sin²a)=√(1-1/9)=√(8/9)= (2√2)/3
cosb=-1/2, sinb=√(1-cos²a)=√(1-1/4)=√(3/4)= √3/2
подставляем
(-1/3*(-1/2))²-((2√2)/3*√3/2)= 1/36 - 2/3 = -23/36

Answer 2

Дано:

sin(α) = -1/3 cos(β) = -1/2

Мы хотим найти значение выражения sin(α+β)*sin(α-β).

Для начала воспользуемся формулами сложения и вычитания для синусов:

sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) sin(α-β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

Подставим значения из условия:

sin(α) = -1/3 cos(β) = -1/2

sin(α+β) = (-1/3)(-1/2) + cos(α)sin(β) = 1/6 + cos(α)sin(β) (1) sin(α-β) = (-1/3)(-1/2) - cos(α)sin(β) = 1/6 - cos(α)sin(β) (2)

Теперь рассмотрим уравнение, которое нам дано и решим его:

sin^2(α) + cos^2(α) = 1 (-1/3)^2 + cos^2(α) = 1 1/9 + cos^2(α) = 1 cos^2(α) = 1 - 1/9 cos^2(α) = 8/9 cos(α) = ±√(8/9)

Так как sin(α) отрицательный, а sin(α) = -1/3, то cos(α) = -√(8/9).

Вернемся к уравнениям (1) и (2):

sin(α+β) = 1/6 + cos(α)sin(β) (1) sin(α-β) = 1/6 - cos(α)sin(β) (2)

Подставим известные значения:

sin(α+β) = 1/6 + (-√(8/9))sin(β) sin(α-β) = 1/6 - (-√(8/9))sin(β)

Заметим, что sin(α-β) = -sin(α+β), поэтому запишем:

- sin(α+β) = 1/6 - (-√(8/9))sin(β)

Учитывая это, можем упростить уравнение:

sin(α+β) = 1/6 + (-√(8/9))sin(β)

Таким образом, мы получили искомое выражение для sin(α+β)*sin(α-β):

sin(α+β)*sin(α-β) = (1/6 + (-√(8/9))sin(β)) * (-sin(α+β))

Надеюсь, это поможет вам решить задачу! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.