Question

Log4 (x-2)+log1/2 (x-2)=1/2

Answer 1

$log_4 (x-2)+log_\frac{1}{2} (x-2)=\frac{1}{2}\\ log_{2^2} (x-2)+log_{2^{-1}} (x-2)=\frac{1}{2}\\ 2log_{2} (x-2)-log_{2} (x-2)=\frac{1}{2}\\\\ log_{2} (x-2)^2-log_{2} (x-2)=\frac{1}{2}*log_2(2)\\ log_2 (\frac{(x-2)^2}{x-2} )=log_2( \sqrt{2} )\\\\ \left \{ {{\frac{(x-2)^2}{x-2}= \sqrt{2} } \atop {x-2\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \left \{ {{x-2= \sqrt{2} } \atop {x\ \textgreater \ 2}} \right. \\ x=2+ \sqrt{2}$

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \log_4(x-2) + \log_{1/2}(x-2) = \frac{1}{2} \).

Для упрощения решения воспользуемся свойствами логарифмов. Первое, что мы можем сделать, это объединить логарифмы с одинаковой базой. Обратим внимание, что \( \log_4(x-2) = \frac{1}{\log_{1/4}(x-2)} \), так как \( \log_a(b) = \frac{1}{\log_{1/a}(b)} \).

Таким образом, уравнение преобразуется следующим образом:

\[ \frac{1}{\log_{1/4}(x-2)} + \log_{1/2}(x-2) = \frac{1}{2} \]

Теперь давайте преобразим базы логарифмов так, чтобы они были одинаковыми. Мы знаем, что \( \log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b) \), поэтому:

\[ \frac{1}{\frac{1}{2} \log_2(x-2)} + \log_2(x-2) = \frac{1}{2} \]

Теперь избавимся от дроби в левой части уравнения, умножив обе стороны на 2:

\[ 2 \log_2(x-2) + \log_2(x-2) = 1 \]

Объединим логарифмы:

\[ 3 \log_2(x-2) = 1 \]

Теперь разделим обе стороны на 3:

\[ \log_2(x-2) = \frac{1}{3} \]

Теперь преобразим это уравнение в экспоненциальную форму, чтобы найти значение \( x \):

\[ 2^{\frac{1}{3}} = x-2 \]

\[ x = 2 + 2^{\frac{1}{3}} \]

Таким образом, значение \( x \) равно \( 2 + 2^{\frac{1}{3}} \).