Question

Докажите что значение выражения 6^28-6^26 кратно 105

Answer 1

6^28 - 6^26 = 6^26 * (6^2 - 1) = 6^26 * 35 = 6^25 * 6 * 35 = 6^25 * 2 * 105

Произведение делится на 105, так как один из сомножителей равен 105.

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением. Мы имеем выражение \(6^{28} - 6^{26}\) и хотим доказать, что оно кратно 105.

Для начала, давайте выразим выражение в виде разности квадратов:

\[6^{28} - 6^{26} = (6^{14})^2 - (6^{13})^2.\]

Теперь мы видим, что это разность квадратов. Известно, что разность квадратов можно выразить как произведение суммы и разности:

\[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).\]

Применяем это к нашему выражению:

\[(6^{14})^2 - (6^{13})^2 = (6^{14} + 6^{13})(6^{14} - 6^{13}).\]

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Давайте упростим их.

Первый множитель:

\[6^{14} + 6^{13} = 6^{13}(6 + 1) = 7 \cdot 6^{13}.\]

Второй множитель:

\[6^{14} - 6^{13} = 6^{13}(6 - 1) = 5 \cdot 6^{13}.\]

Теперь мы можем записать наше исходное выражение в виде произведения двух чисел:

\[(6^{14} + 6^{13})(6^{14} - 6^{13}) = 7 \cdot 6^{13} \cdot 5 \cdot 6^{13}.\]

Теперь у нас есть произведение двух чисел: \(7 \cdot 6^{13} \cdot 5 \cdot 6^{13}\). Чтобы убедиться, что оно кратно 105, давайте проверим кратность каждого множителя.

1. \(7\) делится на \(105\), так как \(7 \cdot 15 = 105\). 2. \(6^{13}\) делится на \(105\), так как \(6^{13}\) содержит \(6^{12}\), которое делится на \(105\) (поскольку \(6^{12} = (6^2)^6\) делится на \(105\)). 3. \(5\) делится на \(105\), так как \(5 \cdot 21 = 105\).

Таким образом, каждый множитель делится на \(105\), и, следовательно, их произведение также делится на \(105\). Таким образом, мы доказали, что \(6^{28} - 6^{26}\) кратно \(105\).