Question

Найдите значение выражения a^2+b^2+c^2 , если a-b+c=8 и ac-ab-bc=12

Answer 1

($(a-b+c)^{2}= a^{2} + b^{2} +c^{2}+ 2ac-2ab-2bc$

$(a-b+c)^{2} =8 ^{2} =64$
2ac-2ba-2db = 2(a-b+c) =2 *12=24
a^{2} + b^{2} +c^{2}= 64-24=40

Answer 2

Дано: a - b + c = 8 ................. (1) ac - ab - bc = 12 ............. (2)

Выразим c из уравнения (1): c = 8 + b - a

Подставим это значение в уравнение (2): a(8 + b - a) - ab - b(8 + b - a) = 12

Раскроем скобки: 8a + ab - a^2 - ab - b^2 - 8b + ab - ab + b^2 = 12

Сократим одинаковые слагаемые: 8a - a^2 - 8b + b^2 = 12

Перенесем все слагаемые влево: a^2 + b^2 + 8b - 8a - 12 = 0

Перепишем это уравнение в форме квадратного трехчлена: (a^2 - 8a) + (b^2 + 8b) - 12 = 0

Для завершения квадрата нам необходимо добавить и вычесть определенное значение. Для этого заметим, что квадратом выражения a^2 - 8a является (a - 4)^2, а квадратом выражения b^2 + 8b является (b + 4)^2. Поэтому добавим добавим и вычтем 16 в уравнение: (a^2 - 8a + 16) + (b^2 + 8b + 16) - 12 - 16 = 0

Сократим слагаемые: (a - 4)^2 + (b + 4)^2 - 28 = 0

Теперь можем выразить (a - 4)^2 + (b + 4)^2: (a - 4)^2 + (b + 4)^2 = 28

Таким образом, значение выражения a^2 + b^2 + c^2 равно 28.