Question

Какие два числа нужно вставить между числами 3 и -192, чтобы они вместе представляли геометрическую прогрессию

Answer 1

$b_4=b_1*q^{4-1} \\ b_4=b_1*q^{3} \\ 3=(-192)*q^3 \\ q^3=- \frac{3}{192} \\ q^3=- \frac{1}{64} \\ q=- \frac{1}{4} \\ b_2=b_1*q^1=(-192)* (-\frac{1}{4})=48 \\ b_3=b_1*q^2=(-192)* \frac{1}{16}=-12$
Ответ: 48 и -12.

Answer 2

Чтобы числа 3, x, y, и -192 представляли геометрическую прогрессию, необходимо, чтобы отношение любого числа к предыдущему было постоянным. Таким образом, мы можем записать уравнение для геометрической прогрессии:

\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{x} = \frac{-192}{y} \]

Мы можем решить это уравнение, чтобы найти значения x и y. Первое отношение дает нам:

\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{x} \]

Умножаем обе стороны на \(x \times 3\):

\[ x^2 = 3y \]

Отсюда получаем \(y = \frac{x^2}{3}\).

Теперь, второе отношение:

\[ \frac{y}{x} = \frac{-192}{y} \]

Умножаем обе стороны на \(x \times y\):

\[ y^2 = -192x \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ y = \frac{x^2}{3} \] \[ y^2 = -192x \]

Подставим первое уравнение во второе:

\[ \left(\frac{x^2}{3}\right)^2 = -192x \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{x^4}{9} = -192x \]

Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ x^4 = -1728x \]

Теперь выражение можно переписать в виде уравнения:

\[ x^4 + 1728x = 0 \]

Факторизуем это уравнение, чтобы найти корни:

\[ x(x^3 + 1728) = 0 \]

Отсюда мы получаем два корня: \(x = 0\) и \(x^3 + 1728 = 0\).

Первый корень \(x = 0\) приведет к нулевой геометрической прогрессии, что неинтересно. Рассмотрим второй корень:

\[ x^3 + 1728 = 0 \]

Выразим \(x^3\):

\[ x^3 = -1728 \]

Теперь найдем значение x, извлекая кубический корень:

\[ x = \sqrt[3]{-1728} = -12 \]

Таким образом, два числа, которые нужно вставить между 3 и -192, чтобы они вместе представляли геометрическую прогрессию, это -12.