Question

Докажите,что если x и y не кратны 3,то разность x^2-y^2 кратна 3.

Answer 1

Запишем числа в виде x=3n+k и y=3m+l (k,l<3) не уменьшая общности будем считать, что k>=lx+y=3(m+n)+(k+l)x-y=3(m-n)+(k-l)x^2-y^2=(3(m+n)+(k+l))(3(m-n)+(k-l))слагаемые, содержащие 3 в качестве множителя делятся на 3,остается слагаемое k^2-l^2, но при 0<l<=k Имеем l=1 k=2 4-1=3l=2 k=2 k^2-l^2=0

Answer 2

Для того чтобы доказать утверждение, что если числа x и y не кратны 3, то разность x^2 - y^2 кратна 3, нам нужно рассмотреть несколько случаев.

Предположим, что x и y не кратны 3. Это означает, что при делении x и y на 3 остаток не будет равен 0. Обозначим остатки от деления x и y на 3 как r_x и r_y соответственно.

В таком случае, мы можем записать x и y в следующем виде: x = 3a + r_x y = 3b + r_y

где a и b - целые числа, а r_x и r_y - остатки от деления x и y на 3.

Теперь рассмотрим разность x^2 - y^2: x^2 - y^2 = (3a + r_x)^2 - (3b + r_y)^2 = 9a^2 + 6a*r_x + r_x^2 - 9b^2 - 6b*r_y - r_y^2 = 3(3a^2 + 2a*r_x - 3b^2 - 2b*r_y) + (r_x^2 - r_y^2)

Заметим, что первое слагаемое 3(3a^2 + 2a*r_x - 3b^2 - 2b*r_y) является кратным 3, так как умножение на 3 дает результат, кратный 3.

Остается рассмотреть второе слагаемое (r_x^2 - r_y^2). Здесь мы можем заметить, что разность квадратов двух чисел всегда делится на их сумму, то есть (r_x^2 - r_y^2) кратно (r_x + r_y).

Теперь мы можем сделать вывод: - Если r_x и r_y оба равны 0, то (r_x + r_y) также будет равно 0, и (r_x^2 - r_y^2) будет кратно 3. - Если r_x и r_y не равны 0, то (r_x + r_y) не будет равно 0, и (r_x^2 - r_y^2) будет кратно 3.

Итак, в обоих случаях (r_x^2 - r_y^2) кратно 3. Следовательно, мы доказали, что если x и y не кратны 3, то разность x^2 - y^2 кратна 3.