Question

Решите уравнение: a) 3sin в квадрате 2x+2sin2x-1=0 b) 4sin в квадрате x+sinxcosx-3cos в квадрате x=0

Answer 1

3sin²2x+2sin2x-1=0

sin2x=t; 3t²+2t-1=0;D=16; t=-1;t=-1/3

sin2x=1;2x=π/2+2πn.n∈Z

sin2x=-1/3; x=(-1)^n*arcsin(-1/3)+πn,n∈Z.

4sin²x+sinx*cosx-3cos²x=0; Это однородное уравнение второй степени, делим обе части на квадрат косинуса и получаем уравнение относительно тангенса. Делаем замену переменной , как в первом примере и решаем.

4tg²x+tgx-3=0

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по очереди.

Решение уравнения a) 3sin^2(2x) + 2sin(2x) - 1 = 0:

Для удобства обозначим sin(2x) за y. Тогда уравнение примет вид:

3y^2 + 2y - 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = 2 и c = -1. Подставим значения в формулу:

D = 2^2 - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.

Теперь найдем значения y, используя формулу:

y = (-b ± √D) / 2a

y₁ = (-2 + √16) / (2 * 3) = ( -2 + 4) / 6 = 2 / 6 = 1/3

y₂ = (-2 - √16) / (2 * 3) = (-2 - 4) / 6 = -6 / 6 = -1

Таким образом, получаем два значения y: 1/3 и -1.

Теперь найдем значения sin(2x):

sin(2x) = 1/3 sin(2x) = -1

Для первого уравнения sin(2x) = 1/3, мы можем решить его, найдя обратный синус (арксинус) от обоих сторон:

2x = arcsin(1/3) 2x = π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk, где k - целое число

Так как мы решаем уравнение для x, делим обе стороны на 2:

x = π/12 + πk или 5π/12 + πk, где k - целое число

Для второго уравнения sin(2x) = -1, мы можем решить его, найдя обратный синус (арксинус) от обоих сторон:

2x = arcsin(-1) 2x = -π/2 + 2πk, где k - целое число

Так как мы решаем уравнение для x, делим обе стороны на 2:

x = -π/4 + πk, где k - целое число

Таким образом, решением уравнения a) являются следующие значения x:

x = π/12 + πk, 5π/12 + πk, -π/4 + πk, где k - целое число.

Решение уравнения b) 4sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0:

Для удобства обозначим sin(x) за p и cos(x) за q. Тогда уравнение примет вид:

4p^2 + pq - 3q^2 = 0

Мы можем раскрыть уравнение, используя тригонометрические идентичности:

4sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0 4p^2 + pq - 3q^2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 4, b = q и c = -3. Подставим значения в формулу:

D = q^2 - 4 * 4 * (-3) = q^2 + 48

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.

Теперь найдем значения q, используя формулу:

q = (-b ± √D) / 2a

q₁ = (-q + √(q^2 + 48)) / (2 * 4) q₂ = (-q - √(q^2 + 48)) / (2 * 4)

Таким образом, получаем два значения q: q₁ и q₂.

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: q ≠ 0

Если q ≠ 0, мы можем поделить уравнение на q и получить:

4p^2/q + p - 3q = 0

Теперь это уравнение можно решить относительно p:

p = ( -1 ± √(1 + 12q^2))/8

Таким образом, мы нашли значения p: p₁ и p₂.

Теперь найдем значения sin(x) и cos(x) с использованием p и q:

sin(x) = p cos(x) = q

Случай 2: q = 0

Если q = 0, мы можем заменить cos(x) на 0 в исходном уравнении:

4sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0 4sin^2(x) = 0

Это уравнение имеет единственное решение:

sin(x) = 0

Таким образом, решением уравнения b) являются следующие значения x:

1) Если q ≠ 0: x = arcsin(p₁)/2 + 2πk или arcsin(p₂)/2 + 2πk, где k - целое число

2) Если q = 0: x = arcsin(0)/2 + πk = π/2 + πk, где k - целое число

Это детальное решение уравнений a) и b). Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!