Question

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 9, а сумма следующих трех чисел равна -72. найдите восьмой член.

Answer 1

Держи!
будут вопросы - пиши!

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \(a\), а знаменатель прогрессии — как \(q\). Тогда первые три члена будут:

1. \(a\) 2. \(aq\) 3. \(aq^2\)

Сумма первых трех членов равна 9:

\[a + aq + aq^2 = 9\]

Аналогично, следующие три члена:

4. \(aq^3\) 5. \(aq^4\) 6. \(aq^5\)

Сумма этих трех членов равна -72:

\[aq^3 + aq^4 + aq^5 = -72\]

Мы можем использовать эти уравнения для решения задачи. Разделим второе уравнение на первое, чтобы устранить переменную \(a\):

\[\frac{aq^3 + aq^4 + aq^5}{a + aq + aq^2} = \frac{-72}{9}\]

Упростим:

\[\frac{q^3 + q^4 + q^5}{1 + q + q^2} = -8\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором нет переменной \(a\). Мы можем упростить числитель:

\[q^3 + q^4 + q^5 = -8(1 + q + q^2)\]

Раскроем скобки:

\[q^3 + q^4 + q^5 = -8 - 8q - 8q^2\]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно \(q\). Сгруппируем все члены:

\[q^3 + q^4 + q^5 + 8 + 8q + 8q^2 = 0\]

\[q^3(1 + q + q^2) + 8(1 + q + q^2) = 0\]

\[(q^3 + 8)(1 + q + q^2) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(q\):

1. \(q^3 + 8 = 0\) (приведенное уравнение для \(q\)) 2. \(1 + q + q^2 = 0\) (второй множитель)

Решив первое уравнение, получим:

\[q^3 = -8\]

Отсюда \(q = -2\).

Теперь, используя второй множитель:

\[1 + q + q^2 = 0\]

Подставим \(q = -2\):

\[1 - 2 + 4 = 0\]

Таким образом, мы получаем, что \(q = -2\) является корнем уравнения.

Теперь мы знаем значение \(q\), и мы можем использовать его для нахождения первого члена \(a\), так как сумма первых трех членов равна 9:

\[a + aq + aq^2 = 9\]

Подставим \(q = -2\):

\[a - 2a + 4a = 9\]

\[3a = 9\]

\[a = 3\]

Теперь, когда у нас есть значения \(a\) и \(q\), мы можем найти восьмой член геометрической прогрессии:

\[a_n = a \cdot q^{(n-1)}\]

Где \(n = 8\):

\[a_8 = 3 \cdot (-2)^7\]

\[a_8 = 3 \cdot (-128)\]

\[a_8 = -384\]

Таким образом, восьмой член геометрической прогрессии равен -384.