Question

Помогите пожалуйста!!! Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка: xy (черточка с верху) + y=x+1

Answer 1

$xy'+y=x+1\\\\y'+\frac{1}{x}y=\frac{x+1}{x}\\\\y=uv,\; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\frac{uv}{x}=\frac{x+1}{x}\\\\u'v+u(v'+\frac{v}{x})=\frac{x+1}{x}\\\\1)\; \; v'+\frac{v}{x}=0\\\\\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{x}\\\\\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x}$

$ln|v|=-ln|x|\\\\lnv=ln(x^{-1})\\\\v=x^{-1}=\frac{1}{x}\\\\2)\; u'v=\frac{x+1}{x}\\\\\frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}\\\\\int du=\int (x+1)dx\\\\u=\frac{(x+1)^2}{2}+C\\\\3)\; \; y=uv=\frac{1}{x}\cdot (\frac{(x+1)^2}{2}+C)$

Answer 2

Решение дифференциальных уравнений может быть достаточно сложной задачей, особенно когда уравнения нелинейные. Однако, я могу помочь вам с решением данного уравнения.

У вас дано дифференциальное уравнение первого порядка:

xy' + y = x + 1.

Для начала, мы можем преобразовать это уравнение, чтобы избавиться от неизвестной производной. Разделим обе части уравнения на x:

y' + (1/x)*y = (x + 1)/x.

Теперь это уравнение можно решить с помощью метода, называемого "линейным дифференциальным уравнением первого порядка".

Шаг 1: Найти интегрирующий множитель

Для нахождения интегрирующего множителя, умножим обе части уравнения на функцию μ(x):

μ(x) * y' + μ(x) * (1/x) * y = μ(x) * (x + 1)/x.

Мы хотим, чтобы выражение μ(x) * (1/x) было полным дифференциалом, поэтому выберем μ(x) равным 1/x:

(1/x) * y' + (1/x^2) * y = (x + 1)/x.

Шаг 2: Привести уравнение к виду полного дифференциала

Теперь, когда мы выбрали интегрирующий множитель, мы можем привести уравнение к виду полного дифференциала. Для этого нам нужно проверить, является ли выражение (1/x^2) * y полным дифференциалом.

Выражение (1/x^2) * y является производной от функции ln|x|, поэтому мы можем записать:

d/dx (ln|x|) = (1/x^2) * y.

Таким образом, уравнение принимает вид:

d/dx (1/x * y) = (x + 1)/x.

Шаг 3: Интегрирование

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения по переменной x:

∫d/dx (1/x * y) dx = ∫(x + 1)/x dx.

Интегрируя обе части, получаем:

ln|x| * y = x + ln|x| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Решение относительно y

Исходное уравнение было записано относительно y'. Чтобы получить решение относительно y, мы можем разделить обе части уравнения на ln|x|:

y = (x + ln|x| + C) / ln|x|.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения первого порядка выглядит следующим образом:

y = (x + ln|x| + C) / ln|x|,

где C - произвольная постоянная.