Question

Доведіть що значення виразу 2^12+5^3 ділиться націло на 21. Допоможіть будь ласка! Дуже треба!!!

Answer 1

Да, делится число на 21. Я даже дорешал.

Answer 2

Щоб довести, що вираз \(2^{12} + 5^{3}\) ділиться націло на 21, ми можемо скористатися китайським залишковим теоремою.

Китайська залишкова теорема стверджує, що якщо \(a\) і \(b\) є взаємно простими числами (тобто їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1), то для будь-яких цілих чисел \(x\) і \(y\), рівність

\[ x \equiv y \pmod{ab} \]

еквівалентна системі рівнянь

\[ \begin{cases} x \equiv y \pmod{a} \\ x \equiv y \pmod{b} \end{cases} \]

Тепер давайте розглянемо наше вираз \(2^{12} + 5^{3}\). Ми можемо розділити його на дві частини:

\[ x = 2^{12} \] \[ y = 5^{3} \]

Ми знаємо, що \(2\) та \(5\) є взаємно простими числами. Тепер давайте перевіримо, чи вони взаємно прості з \(21\). Їхній найбільший спільний дільник повинен дорівнювати 1.

\[ \text{НСД}(2, 21) = 1 \] \[ \text{НСД}(5, 21) = 1 \]

Отже, за китайською залишковою теоремою, якщо \(2^{12} \equiv a \pmod{21}\) і \(5^{3} \equiv b \pmod{21}\), то \(2^{12} + 5^{3} \equiv a + b \pmod{21}\).

Тепер обчислимо \(2^{12} \pmod{21}\) та \(5^{3} \pmod{21}\).

\[ 2^{12} \equiv 1 \pmod{21} \] \[ 5^{3} \equiv 2 \pmod{21} \]

Отже, \(2^{12} + 5^{3} \equiv 1 + 2 \equiv 3 \pmod{21}\). Таким чином, вираз \(2^{12} + 5^{3}\) ділиться націло на \(21\).