Question

Сколько решений имеет система уравнений (в этом уравнение нет решений, мне нужно узнать почему, объясните математически) { (x+2)^2+(y-2)^2=1 { y= корень(x+1)

Answer 1

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1\\\\ y = \sqrt{x + 1}$

$x + 1 \geq 0, \ x \geq -1\\\\ (y - 2)^2 = 1 - (x + 2)^2 =\\\\= (1 - x - 2)(1 + x + 2) = (-1 - x)(x + 3) = - (x + 1)(x + 3)\\\\ (x + 1)(x + 3) \leq 0\\\\ -3 \leq x \leq -1$

$x = -1, \ y = 0, \ (1)^2 + (-2)^2 \ne 1$

Нет решений.

Answer 2

Давайте рассмотрим систему уравнений:

1. \( (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1 \) 2. \( y = \sqrt{x + 1} \)

Мы можем начать с подстановки второго уравнения в первое:

\[ (x + 2)^2 + (\sqrt{x + 1} - 2)^2 = 1 \]

Теперь давайте развернем квадраты и упростим уравнение:

\[ (x^2 + 4x + 4) + (x + 1 - 4\sqrt{x + 1} + 4) = 1 \]

Сгруппируем похожие члены:

\[ x^2 + 5x + 9 - 4\sqrt{x + 1} = 1 \]

Теперь выразим корень:

\[ x^2 + 5x + 8 = 4\sqrt{x + 1} \]

Возводим обе стороны в квадрат:

\[ x^4 + 10x^3 + 41x^2 + 62x + 32 = 16x + 16 \]

\[ x^4 + 10x^3 + 41x^2 + 46x + 16 = 0 \]

Это уравнение четвертой степени. Давайте рассмотрим его ближе.

Пока что мы видим, что данное уравнение имеет 4 корня. Однако, возможно, некоторые из них могут быть комплексными.

Теперь вернемся к системе уравнений. Она имеет два уравнения:

1. \( (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1 \) 2. \( y = \sqrt{x + 1} \)

Мы уже видели, что первое уравнение сводится к уравнению четвертой степени для x. Поскольку уравнение четвертой степени может иметь четыре корня, оно может быть удовлетворено.

Таким образом, система уравнений может иметь решения, исключая случаи, когда корни являются комплексными числами, что может произойти, если выражение под корнем отрицательное.

Итак, в общем случае система может иметь решения, но нужно дополнительное исследование, чтобы определить, какие из этих решений являются реальными числами.