Question

Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Answer 1

х^3 +( х+1)^3 +(х +2)^3. Раскрой скобки, упрости.
Если в произведении один множитель делится на три, то и произведение тоже делится. Доказано

Answer 2

Доказательство того, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3

Для доказательства того, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Давайте предположим, что у нас есть три последовательных натуральных числа: n, n+1 и n+2.

Мы можем записать сумму кубов этих чисел следующим образом:

n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3

Теперь давайте проверим, делится ли эта сумма на 3.

Базовый случай (n = 1):

Если мы возьмем первые три натуральных числа (1, 2 и 3), то сумма их кубов будет:

1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36

Мы видим, что сумма кубов этих чисел равна 36, и 36 делится на 3 без остатка.

Индукционный шаг:

Теперь давайте предположим, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3 для некоторого значения n = k. То есть:

k^3 + (k+1)^3 + (k+2)^3 = 3m

где m - целое число.

Мы хотим доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел также делится на 3 для n = k + 1.

Раскроем скобки в выражении для n = k + 1:

(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + k^3 + 6k^2 + 12k + 8 + k^3 + 9k^2 + 27k + 27

Сгруппируем слагаемые:

3k^3 + 18k^2 + 30k + 36

Мы видим, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел для n = k + 1 равна 3, умноженному на выражение:

k^3 + 6k^2 + 10k + 12

Мы знаем, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел для n = k делится на 3 (по предположению индукции), то есть:

k^3 + 6k^2 + 10k + 12 = 3m

где m - целое число.

Теперь давайте рассмотрим выражение:

3m = 3(m + 2k^2 + 3k + 4)

Мы видим, что это выражение также делится на 3 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3 для любого натурального числа n.

Заключение:

Мы использовали метод математической индукции, чтобы доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3. Это доказательство подтверждает, что данное утверждение верно для всех натуральных чисел.