Question

Исследуйте функцию на монотонность f(x)=x^2-(16/x)

Answer 1

Находим производную, затем её знаки в промежутках знакопостоянства.Если производная в промежутке положительна, то функция возрастает, там где производная отрицательна, там ф-ция убывает.
$y`=2x+\frac{16}{x^2}=0\\\frac{2x^3+16}{x^2}=0,\frac{2(x^3+8)}{x^2}=0, \frac{2(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2}=0\to \\x=-2, x\ne 0$
Знаки произв-ой:    - - - - -[-2] + + + + + (0) + + + + +
Ф-ция убывает при х Є (-беск,-2) и убывает при х Є (-2, 0) и при х Є (0,+беск)
Точка минимума х=-2, у(-2)=4+8=12,  ---> точка min (-2,12)

Answer 2

Функция f(x) = x^2 - 16/x является квадратичной функцией с одночленом, содержащим обратное значение x. Давайте проведем исследование на монотонность этой функции.

Определение области определения

Для начала определим область определения функции, то есть значения x, для которых функция определена. В данном случае, функция f(x) определена для всех значений x, кроме x=0, так как в этом случае происходит деление на ноль.

Производная функции

Чтобы исследовать монотонность функции, мы рассмотрим ее производную. Производная функции f(x) может помочь нам определить, в каких интервалах функция возрастает или убывает.

Найдем производную функции f(x) по переменной x:

f'(x) = 2x + 16/x^2

Определение интервалов монотонности

Чтобы определить интервалы монотонности функции, мы должны проанализировать знак производной в различных интервалах.

1. Рассмотрим интервал x < 0: - Когда x < 0, производная f'(x) = 2x + 16/x^2 имеет знак, определяемый знаком первого слагаемого 2x, так как 16/x^2 всегда положительное значение. - Значит, когда x < 0, производная f'(x) будет отрицательной. - Значит, функция f(x) убывает на интервале x < 0.

2. Рассмотрим интервал 0 < x < 4: - Когда 0 < x < 4, оба слагаемых в производной f'(x) = 2x + 16/x^2 положительные. - Значит, производная f'(x) будет положительной на интервале 0 < x < 4. - Значит, функция f(x) возрастает на этом интервале.

3. Рассмотрим интервал x > 4: - Когда x > 4, первое слагаемое 2x в производной f'(x) = 2x + 16/x^2 всегда положительное значение. - Второе слагаемое 16/x^2 будет положительным, когда x > 4. - Значит, производная f'(x) будет положительной на интервале x > 4. - Значит, функция f(x) возрастает на интервале x > 4.

Выводы о монотонности функции

Исследование показало, что функция f(x) = x^2 - 16/x монотонно возрастает на интервалах 0 < x < 4 и x > 4, и монотонно убывает на интервале x < 0.

Примечание: Также стоит отметить, что функция имеет вертикальную асимптоту x = 0 из-за деления на ноль, и горизонтальную асимптоту y = x^2 при стремлении x к плюс или минус бесконечности.