Question

Найдите первообразные 4/✓4x+1

Answer 1

Во-первых, приведём дифференциал к виду подынтегральной функции. Эта функция есть не что иное, как степенная функция, табличный интеграл которой берётся по формуле:

$\int\limits {x^n} \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$

Когда дифференциал приводим к виду подынтегральной функции, используем тот факт равенства дифференциалов:
4 dx = 4 d(4x + 1)

$\int\limits { \frac{4}{\sqrt{4x+1}} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{\sqrt{4x+1}} } \, d(4x+1)= \int\limits { (4x+1)^{- \frac{1}{2} } } \, d(4x+1)= \\ \\ = \frac{1}{ -\frac{1}{2} +1} (4x+1)^{- \frac{1}{2}+1 } +C =2 \sqrt{4x+1} +C$

Такой же результат получаем путём замены t = 4x + 1, тогда dt = dx.

Answer 2

Для нахождения первообразной функции 4/√(4x+1) нужно использовать метод интегрирования. Давайте разберемся подробнее.

Шаг 1: Замена переменной

Для упрощения интеграла нам понадобится сделать замену переменной. Пусть u = 4x + 1. Тогда, дифференцируя это равенство по x, получим du = 4dx.

Шаг 2: Интегрирование

Теперь мы можем записать исходный интеграл в новых переменных: ∫(4/√(4x+1))dx = ∫(4/√u) * (1/4) du = ∫(1/√u) du

Шаг 3: Вычисление интеграла

Для вычисления этого интеграла мы можем использовать степенной метод интегрирования. Заметим, что ∫(1/√u) du = 2√u + C, где C - постоянная интегрирования.

Шаг 4: Возвращаемся к исходной переменной

Теперь, чтобы получить ответ в исходных переменных, заменяем u обратно на 4x + 1: 2√u + C = 2√(4x + 1) + C.

Таким образом, первообразная функции 4/√(4x+1) равна 2√(4x + 1) + C, где C - произвольная постоянная.