Question

Докажите тождество (1+ctg^2a)(1-sin^2a)=ctg^2a

Answer 1

1) 1+tg² b = 1/Cos² b
2)  1 - Cos² b = Sin² b
3)  1/Сos² b ·Sin² b = Sin²b / Сos² b = tg ² b

Answer 2

Давайте детально рассмотрим данное тождество:

\[ (1 + \cot^2 a)(1 - \sin^2 a) = \cot^2 a \]

Начнем с левой стороны:

\[ (1 + \cot^2 a)(1 - \sin^2 a) \]

Раскроем скобки:

\[ 1 - \sin^2 a + \cot^2 a - \sin^2 a \cot^2 a \]

Теперь объединим подобные члены:

\[ 1 + \cot^2 a - \sin^2 a (1 + \cot^2 a) \]

Мы знаем, что \(1 + \cot^2 a = \csc^2 a\) (это следует из основного тригонометрического тождества). Подставим это значение:

\[ 1 + \csc^2 a - \sin^2 a \csc^2 a \]

Теперь преобразим выражение, используя тригонометрическую идентичность \(\csc^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}\):

\[ \frac{\sin^2 a + 1 - \sin^2 a}{\sin^2 a} \]

Сократим \( \sin^2 a \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{1}{\sin^2 a} \]

И, наконец, вспомним, что \( \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a} \). Подставим это значение:

\[ \cot^2 a \]

Таким образом, левая сторона тождества действительно равна \( \cot^2 a \), что и требовалось доказать.