Question

Даны координаты вершин треугольника A (1,1,1) B(4,3,2) C (-3,4,-2) Определить является ли он прямоугольным или тупоугольным? Если можно объясните пожалуйста по подробней

Answer 1

Направим из точки А в точку В вектор и обозначим его с, поскольку он лежит напротив точки С. Аналогично вектор, направленный из точки А в точку С обозначим b.
Найдем координаты этих векторов.
$\vec{c}(x_b-x_a;y_b-y_a;z_b-z_a)=(4-1;3-1;2-1)=(3;2;1). \\ \vec{b}(x_c-x_a;y_c-y_a;z_c-z_a)=(-3-1;4-1;-2-1)=(-4;3;-3).$
Получили $\vec{b}(-4;3;-3); \ \vec{c}(3;2;1).$
Определим косинус угла между этими векторами:
$cosA= \frac{\vec{b}\vec{c}}{|\vec{b}|*|\vec{c}|}; \\ \vec{b}\vec{c}=x_bx_c+y_by_c+z_bz_c=-4*3+3*2-3*1=-9$
В знаменателе произведение модулей, которое всегда имеет положительное значение, следовательно значение дроби будет отрицательным. Косинус на отрезке [0;π] имеет отрицательное значение в области (π/2;π), следовательно угол А - тупой.
Поэтому треугольник АВС - тупоугольный.

Answer 2

Для определения, является ли треугольник прямоугольным или тупоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора и векторное произведение.

1. Вычислим длины сторон треугольника: AB = √[(4-1)^2 + (3-1)^2 + (2-1)^2] = √[9 + 4 + 1] = √14 BC = √[(-3-4)^2 + (4-3)^2 + (-2-2)^2] = √[49 + 1 + 16] = √66 AC = √[(-3-1)^2 + (4-1)^2 + (-2-1)^2] = √[16 + 9 + 9] = √34

2. Проверим теорему Пифагора для треугольника ABC: Если AB^2 + BC^2 = AC^2, то треугольник прямоугольный. Если AB^2 + BC^2 > AC^2, то треугольник тупоугольный. Если AB^2 + BC^2 < AC^2, то треугольник остроугольный.

Подставим значения: AB^2 + BC^2 = 14 + 66 = 80 AC^2 = 34

Так как AB^2 + BC^2 = AC^2, то треугольник ABC является прямоугольным.

3. Дополнительно можно использовать векторное произведение, чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным. Векторное произведение двух сторон треугольника должно быть равно нулю только в случае, если треугольник прямоугольный.

Вектор AB = (4-1, 3-1, 2-1) = (3, 2, 1) Вектор BC = (-3-4, 4-3, -2-2) = (-7, 1, -4)

Вычислим векторное произведение: AB × BC = (2*(-4) - 1*1, 1*(-7) - 3*(-4), 3*1 - 2*(-7)) = (-9, -5, 23)

Если векторное произведение AB × BC равно нулю, то треугольник прямоугольный. В данном случае, векторное произведение не равно нулю, подтверждая, что треугольник ABC является прямоугольным.

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.