Question

3sin^2x-4sinxcosx+5cos^2x=0

Answer 1

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ и причем $\cos x\ne 0$, будем получать следующее однородное уравнение
$3tg^2x-4tgx+5=0$
Сделаем замену. Пусть $tgx=t$, в результате замены переменной исходное уравнение преобразуется в следующем виде:
$3t^2-4t+5=0$
Это обычное квадратное уравнение, которое решается через дискриминант.
$D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 5=16-60=-44$

Поскольку $D\ \textless \ 0$, то квадратное уравнение ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корней не имеет. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

ОТВЕТ: уравнение решений не имеет.

Answer 2

Давайте решим уравнение \(3\sin^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) + 5\cos^2(x) = 0\).

Для начала, вспомним тригонометрический тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Мы можем заменить \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\) или \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\).

Имеем: \[3\sin^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) + 5\cos^2(x) = 0\]

Заменим \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\): \[3(1 - \cos^2(x)) - 4\sin(x)\cos(x) + 5\cos^2(x) = 0\]

Раскроем скобки: \[3 - 3\cos^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) + 5\cos^2(x) = 0\]

Упростим: \[8\cos^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) - 3 = 0\]

Теперь мы видим квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\): \[8\cos^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) - 3 = 0\]

Решим это уравнение как квадратное относительно \(\cos(x)\) при условии, что \(\sin(x)\) - это некоторое значение \(k\):

\[8\cos^2(x) - 4k\cos(x) - 3 = 0\]

Решение квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) - это \(\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Применим эту формулу для \(\cos(x)\):

\[ \cos(x) = \frac{4k \pm \sqrt{(4k)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3)}}{2 \cdot 8} \] \[ \cos(x) = \frac{4k \pm \sqrt{16k^2 + 96}}{16} \]

Таким образом, для каждого заданного значения \(\sin(x)\) (обозначенного как \(k\)) можно рассчитать два возможных значения \(\cos(x)\).

Например, если у нас есть значение \(\sin(x) = 0.5\), то мы можем подставить \(k = 0.5\) в наше уравнение для \(\cos(x)\):

\[ \cos(x) = \frac{4 \times 0.5 \pm \sqrt{16 \times 0.5^2 + 96}}{16} \]

\[ \cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{16} \]

\[ \cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{16} \]

\[ \cos(x) = \frac{2 \pm 10}{16} \]

Таким образом, получаем два значения \(\cos(x)\): \[ \cos(x) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \quad \text{или} \quad \cos(x) = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \]

Используя тригонометрические соотношения, мы можем определить соответствующие значения \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) и получить решения для исходного уравнения.