Question

Найдите количество различных значений аргумента x ∈ (0;2π), при которых значение функции f(x) = cos³x равно значению функции g(x) = 3cos2x - 2cos x.

Answer 1

cos^3x=3(2cos^-1)-2cosx

cos^3x-6cos^x+2cosx+3=0

cosx=t

t^3-6t^2+2t+3=0

t=1  cosx=1  точки 0 и 2П

(t-1)(t^2-5t-3)=0

D=37

t=(5-sqrt(37))/2

x=arccost

x=П+arccost

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы должны найти значения аргумента \(x\), при которых значение функции \(f(x) = \cos^3x\) равно значению функции \(g(x) = 3\cos(2x) - 2\cos(x)\). Итак, пошагово:

1. Запишем уравнение: \[ \cos^3x = 3\cos(2x) - 2\cos(x) \]

2. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: \[ \cos^3x = 3(2\cos^2x - 1) - 2\cos(x) \]

3. Заменим \(\cos^2x\) на \(1 - \sin^2x\), также используем тождество \(\cos(2x) = 2\cos^2x - 1\): \[ \cos^3x = 6\cos^2x - 6 - 2\cos(x) \]

4. Получим квадратное уравнение: \[ \cos^3x - 6\cos^2x + 2\cos(x) + 6 = 0 \]

5. Решим это квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Пусть \(y = \cos(x)\), тогда уравнение примет вид: \[ y^3 - 6y^2 + 2y + 6 = 0 \]

Для поиска корней этого уравнения можно воспользоваться численными методами или, возможно, применить методы решения кубических уравнений. Решив уравнение, мы найдем значения \(y = \cos(x)\).

6. Найдем значения \(x\): После нахождения значений \(\cos(x)\) используем обратную функцию косинуса, чтобы найти соответствующие значения \(x\): \[ x = \arccos(\cos(x)) \]

7. Проверим интервал: Удостоверьтесь, что полученные значения \(x\) принадлежат интервалу \((0, 2\pi)\).

Этот метод позволит вам найти все различные значения \(x\), при которых \(f(x) = \cos^3x\) равно \(g(x) = 3\cos(2x) - 2\cos(x)\) в интервале \((0, 2\pi)\).