Question

Найти первообразную для функции f(x)= sin(2x + p/3) + cos(3x + p/4) если F(p/12)=1

Answer 1

$F(x)=-\frac{\cos(2x+\frac{\pi}{3})}{2}+\frac{\sin(3x+\frac{\pi}{4})}{3}+C\\F(\frac{\pi}{12})=-\frac{\cos(2\times\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3})}{2}+\frac{\sin(3\times\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4})}{3}+C=\\-\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{2}+\frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{3}+C=\frac{1}{3}+C=1\\\\C=\frac{2}{3}\\\\F(x)=-\frac{\cos(2x+\frac{\pi}{3})}{2}+\frac{\sin(3x+\frac{\pi}{4})}{3}+\frac{2}{3}$  

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции f(x) = sin(2x + π/3) + cos(3x + π/4), мы должны интегрировать каждый член по отдельности.

Интеграл sin(2x + π/3) dx: Для интегрирования синуса мы используем формулу интегрирования sin(ax + b) dx = - (1/a) * cos(ax + b) + C, где C - произвольная постоянная. Таким образом, интеграл sin(2x + π/3) dx = - (1/2) * cos(2x + π/3) + C1.

Интеграл cos(3x + π/4) dx: Для интегрирования косинуса мы используем формулу интегрирования cos(ax + b) dx = (1/a) * sin(ax + b) + C, где C - произвольная постоянная. Таким образом, интеграл cos(3x + π/4) dx = (1/3) * sin(3x + π/4) + C2.

Теперь мы можем найти первообразную для функции f(x): F(x) = - (1/2) * cos(2x + π/3) + (1/3) * sin(3x + π/4) + C,

где C = F(π/12) - 1. Так как дано, что F(π/12) = 1, то C = 1 - 1 = 0.

Итак, первообразная для функции f(x) = sin(2x + π/3) + cos(3x + π/4), при условии F(π/12) = 1, равна: F(x) = - (1/2) * cos(2x + π/3) + (1/3) * sin(3x + π/4) + C, где C = 0.