Question

Докажите, что число 2015^4 (2015 в 4 степени) + 4 не является простым.

Answer 1

Можно доказать даже еще более прикольный факт: при всех натуральных n, больших одного, число
(2n-1)^4+4
составное.

В самом деле, (2n-1)^4+4=(4n^2-4n+1)^2+4=...
Для небольшого сокращения выкладок примем 4n^2+1 = t. Продолжаем цепочку равенств:
... = (t-4n)^2+4 = t^2-8nt+16n^2+4=t^2-8nt+4t=t(t-8n+4)=(4n^2+1)(4n^2-8n+5)
При всех n>1 оба сомножителя положительны и не равны 1, поэтому число (2n-1)^4+4 составное.

Answer 2

Чтобы доказать, что число 2015^4 + 4 не является простым, нам нужно найти хотя бы один нетривиальный делитель этого числа. Для этого мы можем использовать следующий метод:

- Заметим, что 2015^4 + 4 = (2015^2 + 2)^2 - (2 * 2015)^2 - Применим формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) - Получим, что 2015^4 + 4 = (2015^2 + 2 + 2 * 2015)(2015^2 + 2 - 2 * 2015) - Упростим скобки: 2015^4 + 4 = (2015^2 + 2015 + 2)(2015^2 - 2015 + 2) - Заметим, что оба множителя в правой части больше 1, то есть они являются нетривиальными делителями числа 2015^4 + 4 - Следовательно, число 2015^4 + 4 не является простым, а составным.

Надеюсь, это ответило на ваш вопрос.