Question

Помогите решить 4sin^2+cos^2+5sinx*cosx=0

Answer 1

4sin²x+cos²x+5sinx*cosx=0 |:cos²x≠0
4sin²x/cos²x+cos²x/cos²x+5sinx*cosx/cos²x=0
4tg²x+1+5tgx=0
tgx=y
4y²+5y+1=0
a=4, b=5, c=1
D=5²-4*4*1=9

y₁,₂=(-b+-√D)/(2*a)

y₁=(-5-3)/8, y₁=-1
y₂=(-5+3)/8, y₂=-1/4
1. y=-1, tgx=-1, x₁=-πn, n∈Z
2. y=-1/4, tgx=-1/4, x₂=-arctg(1/4)+πn, n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение \(4\sin^2x \cos^2x + 5\sin x \cos x = 0\).

1. Сначала факторизуем выражение: \[ \sin x \cos x (4\sin x \cos x + 5) = 0 \]

2. Теперь у нас есть два множителя, равенство произведения равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая для рассмотрения:

a. \(\sin x = 0\)

b. \(4\sin x \cos x + 5 = 0\)

Решение для случая a:

Из уравнения \(\sin x = 0\) следует, что \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

Решение для случая b:

Рассмотрим уравнение \(4\sin x \cos x + 5 = 0\). Мы видим, что это линейное уравнение относительно \(\sin x \cos x\). Давайте представим \(\sin x \cos x\) как одну переменную, например, \(u\):

\[ 4u + 5 = 0 \]

Решим это уравнение относительно \(u\):

\[ u = -\frac{5}{4} \]

Теперь мы знаем, что \(\sin x \cos x = -\frac{5}{4}\). Но \(\sin x \cos x\) также связаны со следующим соотношением:

\[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \]

Подставим это выражение:

\[ \frac{1}{2} \sin(2x) = -\frac{5}{4} \]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[ \sin(2x) = -\frac{5}{2} \]

Заметим, что амплитуда синуса ограничена от -1 до 1, и поэтому уравнение не имеет решений в обычном диапазоне значений для углов. Таким образом, уравнение \(4\sin^2x \cos^2x + 5\sin x \cos x = 0\) имеет единственное решение \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.