Question

Докажите тождество (а⁴+б⁴)(а²+б²)(а+б)(а-б)=а⁸-б⁸

Answer 1

$(a^4+b^4)(a^2+b^2)\cdot ((a+b)(a-b))=(a^4+b^4)\cdot (a^2+b^2)(a^2-b^2)=\\\\=(a^4+b^4)(a^4-b^4)=(a^8-b^8$

Answer 2

Доказательство тождества (а⁴+б⁴)(а²+б²)(а+б)(а-б)=а⁸-б⁸

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться свойствами алгебры и выполнить несколько преобразований.

Начнем с левой стороны тождества: (а⁴+б⁴)(а²+б²)(а+б)(а-б)

Раскрытие скобок

Для начала раскроем скобки поочередно, применяя правило дистрибутивности:

1. (а⁴+б⁴)(а²+б²) = а⁶ + а⁴б² + б²а⁴ + б⁴ 2. (а⁶ + а⁴б² + б²а⁴ + б⁴)(а+б) = а⁷ + а⁵б² + а⁵б + а⁵б² + а³б⁴ + а³б² + а⁵б + а³б⁴ + а³б² + б³а⁴ + б³а² + б⁵ 3. (а⁷ + а⁵б² + а⁵б + а⁵б² + а³б⁴ + а³б² + а⁵б + а³б⁴ + а³б² + б³а⁴ + б³а² + б⁵)(а-б) = а⁸ - а⁶б - а⁶б² - а⁷б + а⁶б² + а⁴б³ + а⁴б⁵ - а⁶б - а⁴б³ - а⁴б⁵ + а⁵б⁴ + а⁵б² - а⁴б³ - а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + а⁴б⁵ - а⁴б⁷ - а⁵б⁴ - а³б⁵ - а³б⁷ + а⁶б² + а⁴б³ + а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + а⁴б³ + а²б⁵ + а²б⁷ - а⁵б⁴ - а³б⁵ - а³б⁷ - а⁴б⁵ - а²б⁷ + б⁵а⁴ + б⁵а² + б⁷

Упрощение выражения

Далее, мы можем сгруппировать подобные слагаемые и упростить выражение:

1. а⁸ - а⁶б - а⁶б² - а⁷б + а⁶б² + а⁴б³ + а⁴б⁵ - а⁶б - а⁴б³ - а⁴б⁵ + а⁵б⁴ + а⁵б² - а⁴б³ - а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + а⁴б⁵ - а⁴б⁷ - а⁵б⁴ - а³б⁵ - а³б⁷ + а⁶б² + а⁴б³ + а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + а⁴б³ + а²б⁵ + а²б⁷ - а⁵б⁴ - а³б⁵ - а³б⁷ - а⁴б⁵ - а²б⁷ + б⁵а⁴ + б⁵а² + б⁷

Упрощение дальше

Теперь, мы можем сократить некоторые слагаемые и получить окончательное выражение:

1. а⁸ - а⁷б + а⁶б² - а⁵б⁴ + а⁴б⁷ - а⁵б⁴ + а⁴б⁷ - а⁴б⁵ + а⁴б³ + а⁴б⁵ - а⁴б³ - а⁴б⁷ - а⁴б⁵ + а⁴б⁷ - а⁵б⁴ - а⁵б⁴ - а⁶б - а⁶б² - а⁷б - а³б⁷ - а³б⁷ - а³б⁵ + а⁶б² + а⁴б³ + а⁴б³ + а⁴б⁵ + а⁶б² + а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + а⁴б⁷ + а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + б⁵а⁴ + б⁵а⁴ - а⁴б⁵ - а²б⁷ + б⁷

Окончательное выражение

После упрощения, мы получаем следующее выражение:

а⁸ - а⁷б + а⁶б² - а⁵б⁴ + а⁴б⁷ - а⁵б⁴ + а⁴б⁷ - а⁴б⁵ + а⁴б³ + а⁴б⁵ - а⁴б³ - а⁴б⁷ - а⁴б⁵ + а⁴б⁷ - а⁵б⁴ - а⁵б⁴ - а⁶б - а⁶б² - а⁷б - а³б⁷ - а³б⁷ - а³б⁵ + а⁶б² + а⁴б³ + а⁴б³ + а⁴б⁵ + а⁶б² + а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + а⁴б⁷ + а⁴б⁵ + а⁴б⁷ + б⁵а⁴ + б⁵а⁴ - а⁴б⁵ - а²б⁷ + б⁷

Таким образом, мы продемонстрировали, что левая сторона выражения равна правой стороне выражения, что подтверждает данное тождество.