Question

При каких значениях параметра m уравнение х2+2mх+(m+2) имеет корни?

Answer 1

Составляем дискриминант этого уравнения: D=m^2-m-2. Для существования корней дискр. должен быть ≥0, следовательно:
m^2-m-2≥0. Находим сначала корни уравнения m^2-m-2=0: m1=2, m2=-1. Итак, при m≥2  и m≤-1 данное уравнение имеет корни. Заметим, что при m=2 ,  m=-1 корень уравнения - единственный.

Answer 2

При каких значениях параметра m уравнение x^2 + 2mx + (m + 2) имеет корни?

Для того чтобы уравнение x^2 + 2mx + (m + 2) имело корни, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть больше или равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае, уравнение имеет вид x^2 + 2mx + (m + 2), поэтому a = 1, b = 2m и c = (m + 2).

Теперь, подставим значения a, b и c в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю:

D = (2m)^2 - 4(1)(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8

Теперь решим полученное квадратное уравнение D = 0:

4m^2 - 4m - 8 = 0

Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение, факторизацию или квадратное дополнение. Однако, поскольку в данном случае требуется найти значения параметра m, мы можем использовать квадратное дополнение для упрощения уравнения.

Квадратное дополнение заключается в добавлении и вычитании одного и того же числа, чтобы преобразовать уравнение в сумму квадратов. В данном случае, мы можем добавить и вычесть 4:

4m^2 - 4m - 8 + 4 - 4 = 0

Теперь, сгруппируем первые три члена и последние два члена:

(4m^2 - 4m + 4) - 12 = 0

Теперь, преобразуем первую скобку в квадрат:

(2m - 2)^2 - 12 = 0

Теперь, добавим 12 к обеим сторонам уравнения:

(2m - 2)^2 = 12

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

2m - 2 = ±√12

Теперь, решим полученное уравнение для m:

2m - 2 = ±2√3

2m = 2 ± 2√3

m = 1 ± √3

Таким образом, уравнение x^2 + 2mx + (m + 2) имеет корни при значениях параметра m равных m = 1 + √3 и m = 1 - √3.