Question

Сумма 3-го и 7-го членов арифметической прогрессии равна -12. Найдите сумму первых девяти членов этой прогрессии.

Answer 1

a3=a1+2*d 
a7=a1+6*d 
a9=a1+8*d 
s=(a1+a9)*9/2=(2*a1+8*d)*9/2=(a3+a7)*9/2=(-12)*9/2=-6*9=-54

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

Sn = (n/2) * (a1 + an),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.

В данном случае, нам дано, что сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна -12. Обозначим третий член прогрессии как a3 и седьмой член прогрессии как a7.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

a3 + a7 = -12 (1)

Мы также знаем, что арифметическая прогрессия задается разностью d между каждым последующим членом и предыдущим. Обозначим первый член прогрессии как a1 и разность между членами как d.

Тогда третий член прогрессии a3 будет равен:

a3 = a1 + 2d (2)

А седьмой член прогрессии a7 будет равен:

a7 = a1 + 6d (3)

Подставим значения a3 и a7 из уравнений (2) и (3) в уравнение (1):

(a1 + 2d) + (a1 + 6d) = -12

2a1 + 8d = -12

Теперь, у нас есть два уравнения:

2a1 + 8d = -12 (4)

a3 = a1 + 2d (5)

Теперь, чтобы найти сумму первых девяти членов прогрессии, мы должны найти a1, d и использовать формулу для суммы первых девяти членов.

Учитывая, что у нас есть 9 членов в прогрессии, мы знаем, что n = 9 в формуле для суммы. Таким образом, нам нужно найти a1, d и Sn.

Решим систему уравнений (4) и (5) для нахождения значений a1 и d.

Первым шагом, выразим a1 через d из уравнения (4):

2a1 = -12 - 8d

a1 = (-12 - 8d)/2

a1 = -6 - 4d (6)

Теперь подставим значение a1 из уравнения (6) в уравнение (5):

a3 = (-6 - 4d) + 2d

a3 = -6 - 2d (7)

Теперь у нас есть выражения для a1 и a3 через d.

Чтобы найти d, приравняем a3 из уравнения (7) к a7 из уравнения (3):

-6 - 2d = a1 + 6d

-6 - 2d = (-6 - 4d) + 6d

-6 - 2d = -6 + 2d

-4d - 2d = 0

-6d = 0

d = 0 (8)

Теперь, когда мы знаем значение d, мы можем найти a1, используя уравнение (6):

a1 = -6 - 4(0)

a1 = -6

Теперь у нас есть значения a1 и d: a1 = -6 и d = 0.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых девяти членов прогрессии:

Sn = (n/2) * (a1 + an)

Подставим значения n = 9, a1 = -6 и d = 0:

S9 = (9/2) * (-6 + a9)

Так как разность между каждым последующим членом и предыдущим равна 0, то a9 будет равен a1, то есть -6:

S9 = (9/2) * (-6 + (-6))

S9 = (9/2) * (-12)

S9 = 9*(-6)

S9 = -54

Таким образом, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна -54.