Question

Решите неравенство 2x^2>(1/2)^2x-3

Answer 1

2^x² > (1/2)^(2x-3)
2^x² >2^-(2x-3)
x² > - 2x+3
x²+2x-3>0
D/4=1+3=4=+-2²
x1= - 1-2= - 3
x2= - 1+2=1

x> -3
x>1

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны привести его к каноническому виду и найти значения переменной x, при которых неравенство выполняется.

Приведение к каноническому виду:

Начнем с переноса всех членов в одну сторону: 2x^2 - (1/2)^2x + 3 > 0

Упростим дробь (1/2)^2 до 1/4: 2x^2 - 1/4x + 3 > 0

Домножим все члены неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби: 8x^2 - x + 12 > 0

Анализ знаков:

Теперь проанализируем знаки выражения 8x^2 - x + 12, чтобы определить интервалы, в которых неравенство выполняется.

1. Найдем корни квадратного уравнения 8x^2 - x + 12 = 0: Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*8*12 = 1 - 384 = -383 Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

2. Найдем вершину параболы: x = -b / (2a) = 1 / (2*8) = 1/16 Подставим эту x-координату в изначальное выражение для получения y-координаты: y = 8(1/16)^2 - (1/16) + 12 = 1/2 - 1/16 + 12 = 1/2 - 1/16 + 192/16 = 193/16

3. Анализ знаков: Теперь рассмотрим интервалы на числовой прямой, чтобы определить, в каких интервалах неравенство выполняется. Мы знаем, что у параболы, заданной уравнением 8x^2 - x + 12, отрицательный коэффициент при x^2, поэтому она будет направлена вниз. - Если x < 1/16, то 8x^2 будет положительным, x будет отрицательным, и выражение 8x^2 - x + 12 будет положительным. - Если x > 1/16, то 8x^2 будет положительным, x будет положительным, и выражение 8x^2 - x + 12 будет положительным. - Если x = 1/16, то выражение 8x^2 - x + 12 будет равно 193/16, что больше нуля.

Ответ:

Таким образом, неравенство 2x^2 > (1/2)^2x - 3 выполняется для всех значений x, кроме x = 1/16. В математической нотации это можно записать как: x ∈ (-∞, 1/16) U (1/16, +∞)