Question

На стороне АВ квадрата АВСD построен правельный треугольник AFB(лежащий на плоскости квадрата), так что вершина F находится вне квадрата. Найдите длинну отрезка FC. Если сторона квадрата ABCD равна корню из 6.

Answer 1

1. Угол в правильном треугольника всегда 60 градусов. Смотрим на угол FBC. Он будет равен сумме прямого ABC=90 и острого FBA=60, то есть FBC=150 градусов.

2. По теореме косинусов находим неизвестную сторону в треугольнике FBC.

Ответ: $3+\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения этой задачи давайте введем обозначения. Пусть сторона квадрата \(ABCD\) равна \(a\), а вершина \(F\) принадлежит стороне \(AB\) треугольника \(AFB\).

1. Находим длину стороны квадрата: У нас дано, что сторона квадрата \(ABCD\) равна корню из 6, т.е., \(a = \sqrt{6}\).

2. Находим высоту треугольника \(AFB\): Поскольку треугольник \(AFB\) правильный, то высота проходит через центр окружности, вписанной в этот треугольник. Половина высоты будет равна радиусу вписанной окружности. Радиус вписанной окружности правильного треугольника можно найти, зная, что он равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) умножить на длину стороны треугольника. Таким образом, высота треугольника \(AFB\) равна \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\).

3. Находим длину отрезка \(FC\): Так как вершина \(F\) лежит на стороне \(AB\), а сторона \(AB\) равна \(a = \sqrt{6}\), длина отрезка \(FC\) будет равна разности длины стороны \(AB\) и высоты треугольника \(AFB\): \[FC = AB - \text{высота} = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{6}.\]

4. Упрощаем выражение: \[FC = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}.\]

Таким образом, длина отрезка \(FC\) равна \(\frac{\sqrt{6}}{2}\).