Question

Решите неравенство f'(x)>0 f(x)=x^3+х^4

Answer 1

F'(x)=3x^2+4x^3=x^2(3+4x)>0
x^2>=0 3+4x>0  x>-3/4

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам понадобится взять производную функции f(x) и найти значения x, при которых f'(x) > 0.

Начнем с нахождения производной функции f(x). У нас дана функция f(x) = x^3 + x^4. Чтобы найти производную, мы применим правило дифференцирования для суммы и степеней:

f'(x) = 3x^2 + 4x^3.

Теперь, чтобы найти значения x, при которых f'(x) > 0, мы должны решить неравенство 3x^2 + 4x^3 > 0. Для этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов.

1. Начнем с нахождения точек, где f'(x) равно нулю. Для этого мы решим уравнение 3x^2 + 4x^3 = 0:

3x^2 + 4x^3 = 0 x^2(3 + 4x) = 0.

Отсюда следует, что x = 0 или x = -3/4.

2. Теперь возьмем тестовые точки в каждом из интервалов, образованных этими нулевыми точками: (-∞, -3/4), (-3/4, 0), (0, +∞).

Выберем x = -1, чтобы проверить интервал (-∞, -3/4): f'(-1) = 3(-1)^2 + 4(-1)^3 = 3 - 4 = -1. Так как f'(-1) < 0, то интервал (-∞, -3/4) не удовлетворяет неравенству.

Выберем x = -1/2, чтобы проверить интервал (-3/4, 0): f'(-1/2) = 3(-1/2)^2 + 4(-1/2)^3 = 3/4 - 1/8 = 5/8. Так как f'(-1/2) > 0, то интервал (-3/4, 0) удовлетворяет неравенству.

Выберем x = 1, чтобы проверить интервал (0, +∞): f'(1) = 3(1)^2 + 4(1)^3 = 3 + 4 = 7. Так как f'(1) > 0, то интервал (0, +∞) удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решением неравенства f'(x) > 0 для функции f(x) = x^3 + x^4 является интервал (-3/4, 0) объединенный с интервалом (0, +∞).