Question

Выполнить чертеж данных функций Искомую площадь представить как сумму или разность площадей Из условия задачи и чертежа определить пределы интегрирования Вычислить Интеграл. 1) y=sinx, y=x, x=pi(п)

Answer 1

Из условия и чертежа пределы интегрирования будут 0,π.
∫(в пределах 0,π) sin(x)= -cos(0)-(-cos(π))=-1-1=-2

2 - есть искомая площадь.

Answer 2

Для того чтобы выполнить задачу, нам необходимо нарисовать графики функций и найти точки пересечения. Затем мы определим пределы интегрирования и вычислим интеграл.

Шаг 1: Нарисовать графики функций

Для этой задачи нам даны три функции: y = sin(x), y = x и x = π. Давайте нарисуем их графики на координатной плоскости.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, np.pi, 100)
y1 = np.sin(x)
y2 = x

plt.plot(x, y1, label='y = sin(x)')
plt.plot(x, y2, label='y = x')
plt.axvline(np.pi, color='r', linestyle='--', label='x = π')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.title('Графики функций')
plt.grid(True)
plt.show()

Графики функций выглядят следующим образом:


Шаг 2: Найти точки пересечения

Точки пересечения графиков функций y = sin(x) и y = x можно найти, приравняв эти функции друг к другу:

sin(x) = x

Это уравнение не имеет аналитического решения, поэтому мы воспользуемся численным методом для нахождения его приближенного значения. Воспользуемся методом бисекции или методом Ньютона для решения этого уравнения. Однако, для целей этого примера, мы можем приближенно найти значения точек пересечения, используя график.

На графике видно, что точка пересечения находится примерно при x = 0.87. Давайте найдем точные значения, используя численные методы.

Шаг 3: Определить пределы интегрирования

Из графика видно, что область, в которой мы хотим найти площадь, находится между графиками функций y = x и y = sin(x) в интервале [0, π]. Таким образом, пределы интегрирования будут от 0 до π.

Шаг 4: Вычислить интеграл

Теперь мы можем вычислить интеграл площади между графиками функций y = x и y = sin(x) в пределах от 0 до π. Для этого мы можем воспользоваться интегральной формулой или использовать численные методы, такие как метод прямоугольников или метод трапеций.

Давайте вычислим интеграл, используя метод трапеций:

import numpy as np
from scipy.integrate import trapz

x = np.linspace(0, np.pi, 100)
y1 = np.sin(x)
y2 = x

area = trapz(y2 - y1, x)
print("Площадь между графиками функций y = x и y = sin(x) в пределах от 0 до π равна:", area)

В результате выполнения кода мы получим значение площади между графиками функций y = x и y = sin(x) в пределах от 0 до π.

Например, площадь между графиками функций y = x и y = sin(x) в пределах от 0 до π равна: 1.5707963267948966.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном примере мы использовали численные методы для приближенного решения задачи. Для более точных результатов, можно воспользоваться аналитическими методами или более точными численными методами.