Question

однородное тригонометрич уравнение5sin²x-2sinx × cosx+cos²x=4

Answer 1

5sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=4

5sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x - 4= 0  Делим на cos^2x

5tg^2x-2tgx+1 - 4(1+tg^2x) = 0

5tg^2x-2tgx+1-4-4tg^2x=0

tg^2x-2tgx-3=0

D=4+12=16

tgx=3  ->x=arctg 3 +pi*k

tgx=-1  ->x=-pi/4+pi*l

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение, которое вы предоставили:

\[ 5\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 4 \]

Для удобства предлагаю заменить \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\), используя тригонометрическое тождество \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\):

\[ 5\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + (1 - \sin^2(x)) = 4 \]

Теперь объединим подобные члены:

\[ 6\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 4 \]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ 6\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 5 = 0 \]

Для упрощения давайте заменим \(\sin(x)\) на \(t\), чтобы получить квадратное уравнение относительно \(t\):

\[ 6t^2 - 2t\cos(x) - 5 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(t\). Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \(a = 6\), \(b = -2\cos(x)\), и \(c = -5\). Подставим значения:

\[ t = \frac{2\cos(x) \pm \sqrt{(-2\cos(x))^2 - 4(6)(-5)}}{2(6)} \]

Упростим это выражение. Сначала посчитаем дискриминант под корнем:

\[ D = (-2\cos(x))^2 - 4(6)(-5) \]

\[ D = 4\cos^2(x) + 120 \]

Теперь подставим обратно в формулу для \(t\):

\[ t = \frac{2\cos(x) \pm \sqrt{4\cos^2(x) + 120}}{12} \]

\[ t = \frac{\cos(x) \pm \sqrt{\cos^2(x) + 30}}{6} \]

Теперь у нас есть два возможных значения \(t\). Подставим их обратно в выражение для \(\sin(x)\):

\[ \sin(x) = \frac{\cos(x) \pm \sqrt{\cos^2(x) + 30}}{6} \]

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые могут быть использованы для нахождения значений \(\sin(x)\). Как следующий шаг, можно использовать тригонометрические соотношения, чтобы определить возможные значения \(x\).

Обратите внимание, что в зависимости от значения \(x\), некоторые члены уравнения могут обращаться в ноль, что приведет к упрощению уравнения.