Question

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = Uo cos(ω t + φ), где t — время в секундах, амплитуда Uo = 30 В, частота ω = 80°/с, фаза φ = 30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 15 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Answer 1

Решение во вложенных файлах.

Answer 2

Ответ: Лампочка будет гореть, когда напряжение U будет больше или равно 15 В. Это условие можно записать как:

$$Uo \cos(\omega t + \phi) \geq 15$$

Решая это неравенство относительно t, получим:

$$\frac{\arccos(\frac{15}{Uo}) - \phi}{\omega} \leq t \leq \frac{2\pi - \arccos(\frac{15}{Uo}) - \phi}{\omega}$$

Подставляя значения Uo, ω и φ, получим:

$$\frac{\arccos(\frac{1}{2}) - 30°}{80°/с} \leq t \leq \frac{2\pi - \arccos(\frac{1}{2}) - 30°}{80°/с}$$

$$0.125 \leq t \leq 0.375$$

Это означает, что лампочка будет гореть в течение 0.375 - 0.125 = 0.25 секунды в каждом периоде колебаний, который равен $\frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{80°/с} = 0.5$ секунды. Таким образом, доля времени, когда лампочка горит, равна $\frac{0.25}{0.5} = 0.5$ или 50%. На протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть два раза: с 0.125 до 0.375 секунды и с 0.625 до 0.875 секунды. Общая продолжительность горения лампочки за первую секунду будет равна 0.5 секунды, что также составляет 50% от всего времени. Ответ: лампочка будет гореть 50% времени за первую секунду.