Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиком функции y=2-x^2касательнойк этому графику в его точке с абциссой x=-1и прямойx=0

Answer 1

Y(-1)=2-1=1
y`=-2x
y`(-1)=2
y=1+2(x+1)=1+2x+2=2x+3-уравнение касательной
Фигура ограничена сверху прямой у=2х+3,а снизу параболой у=2-х².
Площадь равна интегралу от функции 2х+3-2+х²=х²+2х+1от -1 до 0.
S=x³/3+x²+x|0-(-1)=1/3-1+1=1/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = 2 - x^2, касательной к этому графику в его точке с абсциссой x = -1 и прямой x = 0, мы можем использовать метод интегрирования.

Нахождение точки касания

Для начала, найдем точку касания графика и касательной. Мы знаем, что касательная проходит через точку с абсциссой x = -1. Подставим эту точку в уравнение функции y = 2 - x^2:

y = 2 - (-1)^2 y = 2 - 1 y = 1

Таким образом, точка касания графика и касательной имеет координаты (-1, 1).

Ограничение фигуры

Далее, ограничим фигуру графиком функции y = 2 - x^2, касательной и прямой x = 0. График функции y = 2 - x^2 представляет собой параболу, открытую вниз. Касательная проходит через точку (-1, 1) и имеет наклон, равный производной функции в этой точке.

Вычисление производной

Для вычисления производной функции y = 2 - x^2, используем правило дифференцирования степенной функции:

dy/dx = -2x

Нахождение наклона касательной

Подставим x = -1 в полученное уравнение:

dy/dx = -2(-1) dy/dx = 2

Таким образом, наклон касательной равен 2.

Построение фигуры

Теперь мы можем построить график функции y = 2 - x^2, касательной и прямой x = 0 на координатной плоскости. Фигура будет ограничена этими элементами.

Вычисление площади

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, мы можем использовать интеграл. Площадь фигуры будет равна разности между площадью, заключенной под графиком функции y = 2 - x^2, и площадью треугольника, образованного касательной и прямой x = 0.

Вычисление площади под графиком функции

Для вычисления площади под графиком функции y = 2 - x^2, нам необходимо интегрировать функцию на интервале от x = -1 до x = 0:

S1 = ∫[from -1 to 0] (2 - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S1 = [2x - (x^3 / 3)] [from -1 to 0] S1 = [2(0) - (0^3 / 3)] - [2(-1) - ((-1)^3 / 3)] S1 = 0 - (-2/3) S1 = 2/3

Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить, зная его высоту и основание. Основание треугольника равно расстоянию между точками пересечения графика функции y = 2 - x^2 и прямой x = 0. В данном случае, основание равно 1 (расстояние между точками (0,2) и (0,0)). Высота треугольника равна координате y точки касания графика и касательной, то есть 1.

S2 = (1 * 1) / 2 S2 = 1 / 2 S2 = 1/2

Вычисление площади фигуры

Площадь фигуры будет равна разности между площадью под графиком функции и площадью треугольника:

S = S1 - S2 S = 2/3 - 1/2 S = (4/6) - (3/6) S = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2 - x^2, касательной и прямой x = 0, равна 1/6.