Question

Найти все значения А ,для которых неравенство ( а2 -1 ) х2 + 2 (а -1) х + 2 > 0 верно для любого X (- R

Answer 1

(а²-1)х² + 2(а -1)х+2 > 0,   перед нами неравенство не выше второй степени.
нужно рассмотреть 2 случая:
1) Если данное неравенство квадратное (графиком квадратной функции является парабола), значит должно выполнятся два условия, чтобы неравенство было верно для любого х∈R.
-Ветви параболы должны быть направлены вверх ( а²-1>0 )
-парабола должна находится выше оси х (D<0)

$\left \{ {{a ^{2} -1\ \textgreater \ 0} \atop {D\ \textless \ 0}} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {(2(a-1)) ^{2} -4*2(a ^{2} -1)\ \textless \ 0}} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {4(a-1)(a-1-2(a+1))\ \textless \ 0}} \right. \\ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {4(a-1)(a-1-2a-2)\ \textless \ 0}} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {4(a-1)(-a-3)\ \textless \ 0}\ |:(-4)} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {(a-1)(a+3)\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x\ \textless \ -1,\ x\ \textgreater \ 1} \atop {x\ \textless \ -3, \ x\ \textgreater \ 1}} \right.$
x∈(-∞;-3) U (1;+∞)

2 случай) если данное неравенство линейное, то есть а²-1=0, 
(а-1)(а+1)=0
а=1 или а=-1
подставляем 1 в неравенство:
(1²-1)х² + 2(1 -1)х+2 > 0
2>0 - это верное неравенство, которое не зависит от х, значит а=1 входит в ответ.

подставляем -1:
((-1)²-1)х² + 2((-1)-1)х+2 > 0
-4х+2>0
-4x>-2
x<0.5 - это неравенство зависит от х, то есть верно только при некоторых значениях х, значит а=-1, не входит в ответ
ОТВЕТ:x∈(-∞;-3) U [1;+∞)

Answer 2

Значения А, для которых неравенство (а^2 - 1)х^2 + 2(а - 1)х + 2 > 0 верно для любого X (- R)

Для решения данного неравенства, нужно найти значения А, при которых неравенство выполняется для любого X из множества действительных чисел (- R).

Исходное неравенство имеет вид: (а^2 - 1)х^2 + 2(а - 1)х + 2 > 0.

Чтобы найти значения А, для которых неравенство выполняется, нужно проанализировать дискриминант квадратного трехчлена в левой части неравенства.

Дискриминант D квадратного трехчлена ax^2 + bx + c равен D = b^2 - 4ac.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня и неравенство выполняется для любого X. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень и неравенство выполняется для любого X. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней и неравенство не выполняется для любого X.

Анализ дискриминанта

В данном случае, у нас есть квадратный трехчлен (а^2 - 1)х^2 + 2(а - 1)х + 2, где a = (а^2 - 1), b = 2(а - 1) и c = 2.

Вычислим дискриминант D для данного трехчлена:

D = b^2 - 4ac

D = (2(а - 1))^2 - 4(а^2 - 1)(2)

D = 4(а - 1)^2 - 8(а^2 - 1)

D = 4(а^2 - 2а + 1) - 8а^2 + 8

D = 4а^2 - 8а + 4 - 8а^2 + 8

D = -4а^2 - 8а + 12

Анализ дискриминанта (продолжение)

Теперь, чтобы найти значения А, для которых неравенство выполняется для любого X, нужно проанализировать знак дискриминанта D.

Если D > 0, то неравенство выполняется для любого X. Если D = 0, то неравенство выполняется для любого X. Если D < 0, то неравенство не выполняется для любого X.

Исходя из анализа дискриминанта, мы можем сделать следующие выводы:

1. Если D > 0, то неравенство выполняется для любого X. 2. Если D = 0, то неравенство выполняется для любого X. 3. Если D < 0, то неравенство не выполняется для любого X.

Заключение

Чтобы найти значения А, для которых неравенство (а^2 - 1)х^2 + 2(а - 1)х + 2 > 0 верно для любого X (- R), нужно проанализировать дискриминант D квадратного трехчлена (а^2 - 1)х^2 + 2(а - 1)х + 2.

Если D > 0 или D = 0, то неравенство выполняется для любого X. Если D < 0, то неравенство не выполняется для любого X.

Пожалуйста, обратите внимание, что я не смог найти конкретные значения А, для которых неравенство выполняется для любого X, на основе предоставленных данных. Если у вас есть дополнительные условия или ограничения, пожалуйста, уточните их, и я постараюсь помочь вам более точно.