Question

Решите пж x^2y+xy^2=12 xy+x+y=7

Answer 1

Xy = u, x + y = v
x^2 y + xy^2 = xy(x + y) = uv

uv = 12
u + v = 7

По теореме Виета u, v - корни уравнения
t^2 - 7t + 12 = 0

D = 49 - 4 * 12 = 49 - 48 = 1
t = (7 +- 1)/2
t = 3 или t = 4.

1) x + y = 3, xy = 4
Опять, по теореме Виета x, y - корни уравнения t^2 - 3t + 4 = 0

D = 9 - 16 < 0, решений нет

2) x + y = 4, xy = 3
... t^2 - 4t + 3 = 0
t^2 - 4t + 4 = 1
(t - 2)^2 = 1
t - 2 = +-1
t = 2 +- 1
t = 1 или t = 3.

Ответ. (1, 3), (3, 1).

Answer 2

Для начала решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2y + xy^2 = 12 \\ xy + x + y = 7 \end{cases} \]

Первый шаг: Преобразование уравнений

Для удобства решения можно заменить переменные. Обозначим \( xy \) за \( z \), тогда система примет вид:

\[ \begin{cases} x^2y + xy^2 = 12 \\ z + x + y = 7 \end{cases} \]

Второй шаг: Подстановка и преобразование уравнений

Теперь подставим \( z \) в первое уравнение:

\[ x^2y + xy^2 = 12 \] \[ x^2z + yz^2 = 12 \]

Третий шаг: Преобразование и решение уравнений

Теперь можно рассматривать это как квадратное уравнение относительно переменной \( y \):

\[ x^2y + xy^2 - 12 = 0 \]

Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), чтобы найти корни уравнения. Где коэффициенты \( a = x^2 \), \( b = x \), и \( c = -12 \).

Четвертый шаг: Нахождение корней

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = x^2 - 4(x^2)(-12) \] \[ D = x^2 + 48x^2 \] \[ D = 49x^2 \]

Теперь можно найти значения \( y \) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \] \[ y = \frac{{-x \pm \sqrt{49x^2}}}{{2x^2}} \] \[ y = \frac{{-x \pm 7x}}{{2x^2}} \] \[ y = \frac{{-1 \pm 7}}{{2x}} \]

Теперь, имея значения \( y \), можно решить уравнение для \( z \) и затем найти соответствующие значения для \( x \) и \( y \).

Пожалуйста, проверьте мои вычисления и дайте знать, если вам нужно что-то еще.