Question

Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М (2;3;-5) на плоскость 4х-2у+5z-12=0

Answer 1

Инструкция 1 Первый случай. Дана прямая у=kx+b на плоскости. Требуется найти уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку M(m, n). Уравнение этой прямой ищите в виде y=cx+d. Используйте геометрический смысл коэффициента k. Это тангенс угла наклона α прямой к оси абсцисс k=tgα. Тогда с=tg(α+π/2)=-ctgα=-1/tgα=-1/k. На данный момент найдено уравнение перпендикулярной прямой в виде y=-(1/k)x+d, в котором осталось уточнить d. Для этого используйте координаты заданной точки М(m, n). Запишите уравнение n=-(1/k)m+d, из которого d=n-(1/k)m. Теперь можно дать ответ y=-(1/k)x+n-(1/k)m. Существуют и другие виды уравнений плоской прямой. Поэтому есть и другие способы решений. Правда, все они легко преобразуются друг в друга. 2


Пространственный случай. Пусть известная прямая f задана каноническими уравнениями (если это не так, приведите их к каноническому виду). f: (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p, где М0(x0, y0, z0) – произвольная точка этой прямой, а s={m,n,p} – ее направляющий вектор. Заданная точка М(a,b,c). Сначала найдите плоскость α, перпендикулярную прямой f, содержащую М. Для этого используйте одну из форм общего уравнения прямой A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0. Ее направляющий вектор n={A,B,C} совпадает с вектором s (см. рис. 1). Поэтому n={m,n,p} и уравнение α: m(x-a)+n(y-b)+p(z-c)=0. 3 Теперь найдите точку М1(x1,y1,z1) пересечения плоскости α и прямой f путем решения системы уравнений (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p и m(x-a)+n(y-b)+p(z-c)=0. В процессе решения возникнет одинаковая для всех искомых координат величина u= [m(x0-a)+n(y0-b)+p(z0-c)]/(m^2+n^2+p^2). Тогда решение x1=x0-mu, y1=y0-nu, z1=z0-pu. 4 На этом шаге поиска перпендикулярной прямой ℓ, найдите ее направляющий вектор g=M1M={x1-a,y1-b,z1-c}={х0-mu-a,y0-nu-b,z0-pu-c}. Положите координаты этого вектора m1=х0-mu-a, n1=y0-nu-b, p1=z0-pu-c и запишите ответ ℓ:
(x-a)/(х0-mu-a)=(y-b)/(y0-nu-b)=(z-c)/(z0-pu-c).

Answer 2

Для того чтобы найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М(2, 3, -5) на плоскость, мы можем использовать следующий подход:

Шаг 1: Найдите нормальный вектор плоскости. Шаг 2: Найдите вектор, направленный от точки М до любой точки на плоскости. Шаг 3: Используйте формулу проекции вектора на нормальный вектор для вычисления длины перпендикуляра.

Шаг 1: Найдите нормальный вектор плоскости.

Для этого нам понадобится уравнение плоскости в общем виде: 4x - 2y + 5z - 12 = 0. Коэффициенты x, y и z перед переменными x, y и z образуют нормальный вектор плоскости. Таким образом, нормальный вектор плоскости будет равен (4, -2, 5).

Шаг 2: Найдите вектор, направленный от точки М до любой точки на плоскости.

Мы можем выбрать любую точку на плоскости для расчета вектора, направленного от точки М до этой точки. Для удобства выберем точку (0, 0, 0), так как она является началом координат. Вектор, направленный от точки М до точки (0, 0, 0), будет равен (0 - 2, 0 - 3, 0 - (-5)), то есть (-2, -3, 5).

Шаг 3: Используйте формулу проекции вектора на нормальный вектор для вычисления длины перпендикуляра.

Длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость, может быть вычислена с использованием формулы проекции вектора на нормальный вектор: длина = |проекция вектора на нормальный вектор| / |нормальный вектор|

Давайте вычислим это: проекция вектора на нормальный вектор = (-2, -3, 5) * (4, -2, 5) / |(4, -2, 5)| = (-2 * 4) + (-3 * (-2)) + (5 * 5) / sqrt(4^2 + (-2)^2 + 5^2) = -8 + 6 + 25 / sqrt(16 + 4 + 25) = 23 / sqrt(45)

Теперь мы можем вычислить длину перпендикуляра: длина = |23 / sqrt(45)| / |(4, -2, 5)| = 23 / sqrt(45) / sqrt(4^2 + (-2)^2 + 5^2) = 23 / sqrt(45) / sqrt(16 + 4 + 25) = 23 / sqrt(45) / sqrt(45) = 23 / 45

Таким образом, длина перпендикуляра, опущенного из точки М(2, 3, -5) на плоскость 4x - 2y + 5z - 12 = 0, равна 23 / 45.