Question

Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии

Answer 1

a3+a5=16
a6-a2=12

a6=a2+4d
4d=12
d=3 (разность)
a4=a1+3d=(a3+a5)/2=16/2=8
a1+9=8
a1=-1 (первый член)

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Пусть a - первый член арифметической прогрессии, а d - разность между ее членами.

Нахождение третьего и пятого членов

Третий член арифметической прогрессии будет равен a + 2d (так как третий член находится на две разности от первого). Аналогично, пятый член будет равен a + 4d.

Составление уравнения

Из условия задачи, сумма третьего и пятого членов равна 16: (a + 2d) + (a + 4d) = 16

Нахождение шестого и второго членов

Из условия задачи, шестой член арифметической прогрессии на 12 больше второго: (a + 5d) = (a + 2d) + 12

Решение системы уравнений

Решим эту систему уравнений. Для этого сначала выразим a из первого уравнения: 2a + 6d = 16

Затем выразим a из второго уравнения: 3a + 3d = 12

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от a: 2a + 6d - (3a + 3d) = 16 - 12 -a + 3d = 4

Умножим оба члена этого уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента: a - 3d = -4

Теперь у нас есть система уравнений: a - 3d = -4 3a + 3d = 12

Решение системы уравнений

Используем метод замещения или метод сложения, чтобы решить эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 3 и сложим его с вторым уравнением: 3a - 9d + 3a + 3d = -12 + 12 6a - 6d = 0 6a = 6d a = d

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен d.

Нахождение разности

Теперь, когда мы знаем, что первый член равен d, можем использовать одно из исходных условий для нахождения разности. Из условия задачи, шестой член арифметической прогрессии на 12 больше второго: (a + 5d) = (a + 2d) + 12 d + 5d = d + 2d + 12 6d = 3d + 12 3d = 12 d = 4

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна 4.

Ответ

Итак, первый член данной арифметической прогрессии равен 4, а разность равна 4.