Question

При каких значениях a областью определения функции y = √x^2 + ax + 4 есть все действительные числа.

Answer 1

$y= \sqrt{x^2+ax+4}$

$1)$  для нахождения области определения данной функции, необходимо потребовать, чтобы подкоренное выражение было больше либо равно нулю, т.е.

$x^{2} +ax+4 \geq 0$

$2)$  для того, чтобы в области определения были все действительные числа, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля, т. е.  $D=b^2-4ac\ \textless \ 0$
.
$D=a^2-4*1*4=a^2-16$

$a^2-16\ \textless \ 0$

$(a-4)(a+4)\ \textless \ 0$
 
   +              -              +
--------(-4)----------(4)-----------
              /////////////

 

Ответ: $(-4;4)$

Answer 2

Function Definition and Domain of Definition

The function \( y = \sqrt{x^2 + ax + 4} \) has all real numbers as its domain of definition when the discriminant of the quadratic expression under the square root is non-negative. This means that the expression \( x^2 + ax + 4 \) should always be non-negative for all real values of \( x \).

The discriminant of the quadratic expression \( x^2 + ax + 4 \) is given by the formula \( D = b^2 - 4ac \), where \( a = 1 \), \( b = a \), and \( c = 4 \). For the expression to be non-negative, the discriminant \( D \) should be greater than or equal to zero.

Therefore, the condition for the function \( y = \sqrt{x^2 + ax + 4} \) to have all real numbers as its domain of definition is that the discriminant \( D \geq 0 \).

Condition for All Real Numbers as Domain of Definition: The function \( y = \sqrt{x^2 + ax + 4} \) has all real numbers as its domain of definition when the discriminant \( D = a^2 - 4 \times 1 \times 4 \geq 0 \).

Conclusion

For the function \( y = \sqrt{x^2 + ax + 4} \), the domain of definition includes all real numbers when the discriminant \( D = a^2 - 16 \geq 0 \).