Question

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:у= е^2x-3e^x+x+4

Answer 1

                                           Решение

y'=2e^2x-3e^x+1
y'=0 e^x=t
2t^2-3t+1=0
t=1  t=1/2
x=0  x=ln1/2
x>0 y'>0 x<ln1/2  y'>0
на отрезке ]ln1/2;0[ функция убывает
x>0 U x<ln1/2 фукция возрастает
0- точка минимума
ln1/2 максимум.  

Answer 2

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, вам потребуется найти производную функции и решить уравнение, чтобы найти точки экстремума. Давайте начнем!

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции у(x) = e^(2x) - 3e^x + x + 4.

Для удобства, обозначим e^(2x) как a, а e^x как b.

Тогда у(x) можно переписать в следующем виде:

у(x) = a - 3b + x + 4

Теперь найдем производную от у(x) по x.

Производная функции y(x) = a - 3b + x + 4 будет равна сумме производных каждого слагаемого:

y'(x) = (d/dx)(a) - (d/dx)(3b) + (d/dx)(x) + (d/dx)(4)

Вычисление производных

1. Для первого слагаемого a = e^(2x), найдем его производную по x.

(d/dx)(a) = (d/dx)(e^(2x))

Чтобы найти производную от e^(2x), применим правило дифференцирования сложной функции, где e^u - экспоненциальная функция, а u = 2x:

(d/dx)(e^(2x)) = e^(2x) * (d/dx)(2x)

= e^(2x) * 2

= 2e^(2x)

Таким образом, первое слагаемое a = e^(2x) имеет производную 2e^(2x).

2. Для второго слагаемого b = e^x, найдем его производную по x.

(d/dx)(3b) = 3 * (d/dx)(e^x)

Так как (d/dx)(e^x) = e^x, то производная второго слагаемого будет:

(d/dx)(3b) = 3e^x

3. Для третьего слагаемого x, его производная равна просто 1.

(d/dx)(x) = 1

4. Четвертое слагаемое 4 - константа, и ее производная равна нулю.

(d/dx)(4) = 0

Суммирование производных

Теперь сложим производные каждого слагаемого, чтобы получить полную производную y'(x):

y'(x) = 2e^(2x) - 3e^x + 1 + 0

Упрощая это выражение, получим:

y'(x) = 2e^(2x) - 3e^x + 1

Исследование монотонности и экстремумы

Для исследования монотонности и экстремумов функции у(x), мы должны найти точки, где производная равна нулю или не определена.

1. Найдем точки, где производная y'(x) равна нулю:

2e^(2x) - 3e^x + 1 = 0

Это уравнение не может быть решено аналитически, но мы можем использовать численные методы для его решения. Например, метод Ньютона или метод половинного деления.

2. Найдем точки, где производная y'(x) не определена.

Так как производная y'(x) является полиномом, она определена для всех значений x.

Вывод

Таким образом, мы найдем производную функции у(x) = e^(2x) - 3e^x + x + 4, и исследуем монотонность и экстремумы путем нахождения точек, где производная равна нулю или не определена.