Question

Доказать что n(3)+5n делится на 6 при любом натуральном n.

Answer 1

$n^3+5n=n(n^2+5)$

1) Делимость на 2: очевидно (при четном n четно первое слагаемое, при нечетном - второе).

2) Делимость на 3: есть три варианта, рассмотрим каждый из них.

а) n делится на 3 -> очевидно, всё делится на 3

б) n=3k+1:  $n(n^2+5)=(3k+1)(3k(3k+2)+1+5)=3(3k+1)(3k^2+2k+2)$  -> делится на 3

в) n=3k-1: $n(n^2+5)=(3k-1)(3k(3k-2)+1+5)=3(3k-1)(3k^2-2k+2)$ -> делится на 3

Число в любом случае делится на 2 и 3 -> делится на 6.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение n(3) + 5n делится на 6 при любом натуральном n, мы можем использовать метод математической индукции.

Базовый шаг:

Для n = 1, выражение принимает значение 1(3) + 5(1) = 3 + 5 = 8, что является кратным 6.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого k, выражение k(3) + 5k делится на 6.

Индукционный шаг:

Докажем, что если предположение индукции выполняется для k, то оно также выполняется для k + 1.

Рассмотрим выражение (k + 1)(3) + 5(k + 1): (k + 1)(3) + 5(k + 1) = 3k + 3 + 5k + 5 = 8k + 8.

Мы знаем, что выражение k(3) + 5k делится на 6 по предположению индукции. Поэтому мы можем записать k(3) + 5k = 6m, где m - некоторое целое число.

Тогда выражение (k + 1)(3) + 5(k + 1) можно переписать следующим образом: 8k + 8 = 6m + 2k + 8 = 2(3k + 4) + 6m.

Таким образом, мы видим, что выражение (k + 1)(3) + 5(k + 1) также делится на 6.

Исходя из базового шага и индукционного шага, мы можем заключить, что выражение n(3) + 5n делится на 6 при любом натуральном n.

Примечание: Данное доказательство было проведено с использованием метода математической индукции.