Question

докажите справедливость неравенства. а)х^2+y^2+4x-6y+13>=0 б)x^4+10x^2-4x+14>0 в)x^2+4>в корне x^4+8x^2+15

Answer 1

а)х^2+y^2+4x-6y+13>=0 - неравенство верне, т.к.:

x^2+4x+4+y^2-6y+9 =

(x+2)^2 + (y-3)^2 -  Сумма квадратов - неотрицательное число

б)x^4+10x^2-4x+14>0 - неравенство верное, т.к.:

x^4+9x^2 + x^2-4x+4 + 10 =

x^4 + 9x^2 + (x-2)^2 +10 -  Сумма положительных чисел > 0 

 

в)x^2+4>в корне x^4+8x^2+15 - неравенство верное, т.к.:

Возведём обе части в квадрат:

x^4+8x^2+16 > x^4+8x^2+15

16>15                                                                                                                                       

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим неравенство а) и докажем его справедливость.

а) Доказательство неравенства x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 >= 0

Для начала преобразуем данное квадратное уравнение, чтобы выразить его в виде суммы квадратов:

x^2 + 4x + y^2 - 6y + 13 >= 0

Теперь завершим квадрат, добавив и вычитая необходимые константы:

x^2 + 4x + 4 - 4 + y^2 - 6y + 9 - 9 + 13 >= 0 (x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 13 >= 0 (x + 2)^2 + (y - 3)^2 >= 0

Таким образом, мы получили сумму двух квадратов, каждый из которых неотрицателен, что означает, что их сумма также неотрицательна. Следовательно, данное неравенство верно для всех значений x и y.

б) Доказательство неравенства x^4 + 10x^2 - 4x + 14 > 0

Это неравенство представляет собой квадратное уравнение относительно x^2, поэтому давайте введем замену, например u = x^2:

u^2 + 10u - 4x + 14 > 0

Теперь можем рассмотреть это как квадратное уравнение относительно u. Мы можем найти его дискриминант и решить неравенство относительно u.

в) Доказательство неравенства x^2 + 4 > в корне x^4 + 8x^2 + 15

Для доказательства этого неравенства, мы можем начать сравнением левой и правой частей неравенства для различных значений x и использовать алгебраические методы для определения, когда левая часть больше правой.

Пожалуйста, уточните, какой из этих пунктов вы хотели бы рассмотреть подробнее, чтобы я смог предоставить более конкретное доказательство.