Question

Вычислить определенный интеграл: arsinx/sqrt(1-x^2)*dx, интервал jn 1/2 до sqrt3/2

Answer 1

√7*√2∧4*√7*√3²=7*4*3=84
 √7*√7*(√2*√2*√2*√2)*(√3*√3)=7*4*3=84
                                

                                         номер 2
   а) пи/6 - 2(пи - пи/3) = пи/6 - 4пи/3 = -7пи/3
б) sin( 2*пи/3 + 3*пи/3 ) = sin(2пи/3 + пи) = sin5пи/3 = sqrt3/2
1  решил но  вам  2  будет   понятнее

Answer 2

Для вычисления данного определенного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной.

Для начала, давайте проведем замену переменной. Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x)dx. Также заметим, что когда x = π/6, u = 1/2, а когда x = √3/2, u = √3/2.

Теперь мы можем переписать наш определенный интеграл в терминах переменной u:

∫(jn+1/2 до √3/2) arsinx/√(1-x^2) dx = ∫(1/2 до √3/2) arsu/√(1-u^2) * (du/cosx)

Так как cos(x) = √(1 - sin^2(x)) = √(1 - u^2), мы можем упростить выражение:

∫(1/2 до √3/2) arsu/√(1-u^2) * (du/√(1 - u^2))

Заметим, что выражение √(1 - u^2)/√(1 - u^2) равно 1, поэтому мы можем упростить еще дальше:

∫(1/2 до √3/2) arsu du

Теперь, чтобы вычислить этот интеграл, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Пусть u = ars(u), dv = du, тогда du = (1/√(1 - u^2)) du, v = u.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, мы получаем:

∫(1/2 до √3/2) arsu du = [u * u] (1/2 до √3/2) - ∫(1/2 до √3/2) u * (1/√(1 - u^2)) du

Вычислим первое слагаемое:

[u * u] (1/2 до √3/2) = (√3/2 * √3/2) - (1/2 * 1/2) = 3/4 - 1/4 = 1/2

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

∫(1/2 до √3/2) u * (1/√(1 - u^2)) du

Для вычисления этого интеграла, мы можем провести замену переменной: пусть t = 1 - u^2, тогда dt = -2u du. Также заметим, что когда u = 1/2, t = 1 - (1/2)^2 = 3/4, а когда u = √3/2, t = 1 - (√3/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4.

Подставим эти значения и перепишем интеграл:

∫(1/2 до √3/2) u * (1/√(1 - u^2)) du = -1/2 * ∫(3/4 до 1/4) (1/√t) dt

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

-1/2 * ∫(3/4 до 1/4) (1/√t) dt = -1/2 * [2√t] (3/4 до 1/4) = -1/2 * [(2√(1/4)) - (2√(3/4))] = -1/2 * [1 - √3] = (√3 - 1)/2

Итак, наш исходный определенный интеграл равен:

∫(jn+1/2 до √3/2) arsinx/√(1-x^2) dx = 1/2 + (√3 - 1)/2 = (√3 + 1)/2