Question

Найтиде промежутки возрастания и убывания,наибольшее значение функции y=-4корень x^2+9

Answer 1

Що означає оцей знак ^   ?

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = -4√(x^2 + 9), мы можем проанализировать производную этой функции. Промежутки возрастания функции соответствуют тем интервалам, на которых производная положительна, а промежутки убывания - тем интервалам, на которых производная отрицательна.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y по x. Для этого используем правило дифференцирования сложной функции.

Функция y = -4√(x^2 + 9) может быть переписана как y = -4(x^2 + 9)^(1/2). Здесь мы используем свойство корня √a = a^(1/2).

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

dy/dx = d/dx [-4(x^2 + 9)^(1/2)]

Чтобы продолжить дифференцирование, нам понадобится использовать цепное правило (chain rule), которое гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Внешняя функция: -4(u)^(1/2) Внутренняя функция: (x^2 + 9)

Производная внутренней функции: d/dx (x^2 + 9) = 2x Производная внешней функции: d/du (-4u)^(1/2) = -2u^(-1/2)

Применяя цепное правило, получаем:

dy/dx = (-2u^(-1/2)) * (2x) = -4x(u^(-1/2)) = -4x / (u^(1/2))

Возвращаясь к исходной переменной x, заменяем u на (x^2 + 9):

dy/dx = -4x / ((x^2 + 9)^(1/2))

Анализ производной и нахождение промежутков возрастания и убывания

Мы можем анализировать знак производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции. Если производная положительна на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале, а если производная отрицательна, то функция убывает.

Мы заметим, что производная dy/dx = -4x / ((x^2 + 9)^(1/2)) не определена при x = ±3i, где i - мнимая единица. Это означает, что функция не имеет точек экстремума или перегибов, и мы можем сосредоточиться только на промежутках, где производная определена.

Промежутки возрастания

Для определения промежутков возрастания, мы ищем интервалы, на которых производная положительна.

dy/dx > 0

-4x / ((x^2 + 9)^(1/2)) > 0

Мы можем проанализировать знак производной при помощи таблицы знаков. Мы заметим, что числитель -4x всегда отрицателен, а знаменатель ((x^2 + 9)^(1/2)) всегда положителен (квадратный корень из положительного числа всегда положителен). Таким образом, знак производной будет зависеть только от знака числителя -4x.

-4x > 0

Это неравенство выполняется только при x < 0. Значит, функция y = -4√(x^2 + 9) возрастает на интервале (-∞, 0).

Промежутки убывания

Для определения промежутков убывания, мы ищем интервалы, на которых производная отрицательна.

dy/dx < 0

-4x / ((x^2 + 9)^(1/2)) < 0

Аналогично, мы замечаем, что числитель -4x всегда отрицателен, а знаменатель ((x^2 + 9)^(1/2)) всегда положителен. Таким образом, знак производной будет зависеть только от знака числителя -4x.

-4x < 0

Это неравенство выполняется только при x > 0. Значит, функция y = -4√(x^2 + 9) убывает на интервале (0, +∞).

Наибольшее значение функции

Чтобы найти наибольшее значение функции y = -4√(x^2 + 9), мы можем исследовать ее поведение при стремлении x к плюс или минус бесконечности.

Когда x стремится к плюс или минус бесконечности, выражение (x^2 + 9) стремится к плюс бесконечности. Таким образом, корень из (x^2 + 9) также стремится к плюс бесконечности.

При стремлении корня к плюс бесконечности, функция y = -4√(x^2 + 9) стремится к -∞, так как мы умножаем отрицательное число на отрицательное число.

При стремлении корня к минус бесконечности, функция y = -4√(x^2 + 9) стремится к -∞, так как мы умножаем отрицательное число на отрицательное число.

Таким образом, наибольшее значение функции y = -4√(x^2 + 9) равно -∞.

Итак, промежутки возрастания функции y = -4√(x^2 + 9) находятся на интервале (-∞, 0), промежутки убывания - на интервале (0, +∞), а наибольшее значение функции равно -∞.