Question

Решите неравенство (3x-2)(5-x)(x+1)(2-x)<0

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы должны разбить его на несколько интервалов и определить знак выражения (3x-2)(5-x)(x+1)(2-x) на каждом из этих интервалов.

1. Определим значения x, при которых выражение (3x-2)(5-x)(x+1)(2-x) равно нулю:

(3x-2)(5-x)(x+1)(2-x) = 0

Так как произведение равно нулю, то одно из множителей должно быть равно нулю:

3x-2 = 0 => x = 2/3 5-x = 0 => x = 5 x+1 = 0 => x = -1 2-x = 0 => x = 2

Таким образом, значения x, при которых выражение равно нулю, равны 2/3, 5, -1 и 2.

2. Разобьем числовую прямую на интервалы, используя найденные значения x:

(-∞, -1), (-1, 2/3), (2/3, 2), (2, 5), (5, +∞)

3. Теперь определим знак выражения (3x-2)(5-x)(x+1)(2-x) на каждом из этих интервалов:

- Для интервала (-∞, -1):

Выберем x = -2. Подставим это значение в выражение: (3(-2)-2)(5-(-2))((-2)+1)(2-(-2)) = (-8)(7)(-1)(4) = 224. Знак положительный.

- Для интервала (-1, 2/3):

Выберем x = 0. Подставим это значение в выражение: (3(0)-2)(5-(0))((0)+1)(2-(0)) = (-2)(5)(1)(2) = -20. Знак отрицательный.

- Для интервала (2/3, 2):

Выберем x = 1. Подставим это значение в выражение: (3(1)-2)(5-(1))((1)+1)(2-(1)) = (1)(4)(2)(1) = 8. Знак положительный.

- Для интервала (2, 5):

Выберем x = 3. Подставим это значение в выражение: (3(3)-2)(5-(3))((3)+1)(2-(3)) = (7)(2)(4)(-1) = -56. Знак отрицательный.

- Для интервала (5, +∞):

Выберем x = 6. Подставим это значение в выражение: (3(6)-2)(5-(6))((6)+1)(2-(6)) = (16)(-1)(7)(-4) = 1792. Знак положительный.

4. Теперь соберем все полученные знаки вместе:

(-∞, -1): + (-1, 2/3): - (2/3, 2): + (2, 5): - (5, +∞): +

Знак "<" в неравенстве указывает на отрицательное значение. Таким образом, решением данного неравенства будет интервал (-1, 2/3) объединенный с интервалом (2, 5):

x ∈ (-1, 2/3) ∪ (2, 5)