Question

Найдите точки экстрем. функции: y=xe^x

Answer 1

Y`=e^x+xe^x=e^x(1+x)=0
1+x=0
x=-1
     _                      +
--------------------------------
               -1
             min
ymin(-1)=-1/e^x
(-1;-1/e^x)

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции y = xe^x, мы должны найти ее производную и найти значения x, где производная равна нулю или не существует.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y = xe^x. Используя правило производной произведения функций (правило Лейбница), получим:

y' = (x * e^x)' = x' * e^x + x * (e^x)' = 1 * e^x + x * e^x = (1 + x) * e^x

Нахождение значений x при y' = 0

Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю, мы должны решить уравнение:

(1 + x) * e^x = 0

Поскольку экспоненциальная функция e^x всегда положительна для всех значений x, уравнение будет иметь решение только при (1 + x) = 0. Решая это уравнение, мы получим x = -1.

Проверка второй производной

Чтобы определить, является ли точка x = -1 точкой экстремума, мы должны проанализировать вторую производную функции. Возьмем вторую производную функции y = xe^x:

y'' = ((1 + x) * e^x)' = (1 * e^x + x * e^x)' = e^x + (1 + x) * (e^x)' = e^x + (1 + x) * e^x = (2 + x) * e^x

Определение типа экстремума

Если вторая производная положительна для значения x = -1, то это будет точка минимума. Если вторая производная отрицательна, то это будет точка максимума. Если вторая производная равна нулю или не существует, то это будет точка перегиба.

Подставляя x = -1 во вторую производную, получаем:

y''(-1) = (2 + (-1)) * e^(-1) = e^(-1) > 0

Таким образом, x = -1 является точкой минимума функции y = xe^x.

Вывод

Точка экстремума функции y = xe^x находится при x = -1 и является точкой минимума.