Question

Найдите все пары целых чисел , удовлетворяющие уравнению х^2-4y^2=5

Answer 1

Разложим левую часть
(x-2y)(x+2y)=5
при целых числах возможны варинты:
1*5 = 5
(-1)*(-5)= 5

1. x-2y = 1
x+2y=5
x= 3 y = 1

2. x-2y = 5
x+2y = 1
x=3 y = -1

3. x-2y = -1
x+2y = -5
x= -3 y = -1

4. x-2y=-5
x+2y = -1
x= -3 y = 1

Answer 2

Дано уравнение x^2 - 4y^2 = 5.

Давайте рассмотрим это уравнение как диофантово уравнение в целых числах. Заметим, что левая часть уравнения является разностью квадратов: x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y). Таким образом, уравнение может быть переписано в виде (x - 2y)(x + 2y) = 5.

Теперь нам нужно найти все пары целых чисел (x, y), для которых (x - 2y)(x + 2y) = 5. Заметим, что 5 является простым числом, и поэтому его можно представить только в виде 5 * 1 или (-5) * (-1). Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. x - 2y = 5 и x + 2y = 1. Решая эту систему уравнений, получаем x = 3 и y = -1. 2. x - 2y = -5 и x + 2y = -1. Решая эту систему уравнений, получаем x = -3 и y = 1.

Итак, все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению x^2 - 4y^2 = 5, это (3, -1) и (-3, 1).